Βήμα 1: Αντικατάσταση δεδομένων στην εξίσωση

Δίνεται η εξίσωση:

$48^{2} = x^{2} - 36^{2}$

Υπολογίζουμε το $48^{2}$:

$48^{2} = 2304$

Άρα:

$2304 = x^{2} - 36^{2}$

Βήμα 2: Εφαρμογή της ταυτότητας διαφοράς τετραγώνων

Γνωρίζουμε ότι:

$a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$

Εδώ $a = x$, $b = 36$, άρα:

$2304 = (x - 36)(x + 36)$

Βήμα 3: Επίλυση της εξίσωσης

Θέτουμε $m = x - 36$ και $n = x + 36$.

Τότε:

$m \cdot n = 2304$

Επίσης, από τις εκφράσεις τους, έχουμε:

$n - m = 72$

Λύνουμε το σύστημα:

$n = m + 72$

Άρα:

$m(m + 72) = 2304$

$m^{2} + 72m - 2304 = 0$

Βήμα 4: Λύση τριωνύμου

Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα:

$\Delta = 72^{2} + 4 \cdot 2304 = 5184 + 9216 = 14400$

Άρα:

$\sqrt{\Delta} = 120$

Λύσεις:

$m = \frac{-72 \pm 120}{2}$

Επειδή το $m$ αντιστοιχεί στο $x - 36$, παίρνουμε τη θετική λύση:

$m = \frac{-72 + 120}{2} = \frac{48}{2} = 24$

Βήμα 5: Υπολογισμός του $x$

Αφού $m = x - 36 = 24$:

$x = 24 + 36 = 60$

Βήμα 6: Επαλήθευση

Αν $x = 60$:

$x^{2} - 36^{2} = 3600 - 1296 = 2304$

$48^{2} = 2304$

Τελική απάντηση

60 (Επιλογή Α)

Θεωρία

Η λύση βασίζεται στην ταυτότητα διαφοράς τετραγώνων:

$a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$

Η ταυτότητα αυτή χρησιμοποιείται για την απλοποίηση εκφράσεων ή την επίλυση εξισώσεων όπου εμφανίζεται διαφορά τετραγώνων. Στην παρούσα περίπτωση, η αναγνώριση της μορφής $x^{2} - 36^{2}$ επέτρεψε να παραγοντοποιηθεί η εξίσωση και να λυθεί πιο εύκολα.