Βήμα 1: Υπολογισμός πλήθους μικρών κύβων

Η ακμή του μεγάλου κύβου είναι 12cm και η ακμή του κάθε μικρού κύβου είναι 3cm.

Σε κάθε διάσταση, ο αριθμός των μικρών κύβων είναι:

$ \frac{12}{3} = 4 $

Άρα, το συνολικό πλήθος μικρών κύβων είναι:

$ 4 \times 4 \times 4 = 64 $

Βήμα 2: Εντοπισμός κύβων χωρίς βαμμένη πλευρά

Οι μικροί κύβοι που δεν έχουν βαμμένη πλευρά είναι αυτοί που βρίσκονται εσωτερικά, χωρίς να ακουμπούν στην εξωτερική επιφάνεια του μεγάλου κύβου.

Για να υπολογίσουμε αυτούς, αφαιρούμε μία στρώση κύβων από κάθε πλευρά.

Αφού αφαιρέσουμε την εξωτερική στρώση, απομένει εσωτερικός κύβος με ακμή:

$ 4 - 2 = 2 $ μικροί κύβοι σε κάθε διάσταση.

Άρα, το πλήθος των εσωτερικών (μη βαμμένων) κύβων είναι:

$ 2 \times 2 \times 2 = 8 $

Βήμα 3: Επαλήθευση

Συνολικοί μικροί κύβοι: $64$.

Βαμμένοι κύβοι = συνολικοί - εσωτερικοί:

$ 64 - 8 = 56 $ (βαμμένοι τουλάχιστον σε μία πλευρά)

Οι $8$ κύβοι που υπολογίσαμε δεν έχουν καμία πλευρά βαμμένη, άρα η απάντηση είναι σωστή.

Βήμα 4: Τελική απάντηση

Σωστή επιλογή το Ε: 8

Θεωρία

Διαίρεση κύβου σε μικρότερους ίσους κύβους

Αν ένας κύβος ακμής $L$ διαιρεθεί σε μικρότερους κύβους ακμής $l$, τότε ο αριθμός των μικρών κύβων σε κάθε διάσταση είναι:

$ n = \frac{L}{l} $

και ο συνολικός αριθμός μικρών κύβων είναι:

$ N = n^3 $

Κύβοι χωρίς βαμμένη πλευρά

Αν ο μεγάλος κύβος είναι βαμμένος εξωτερικά και κόβεται σε μικρότερους ίσους κύβους, τότε οι κύβοι που δεν έχουν βαμμένη πλευρά είναι οι εσωτερικοί, δηλαδή αυτοί που προκύπτουν αφαιρώντας μία εξωτερική στρώση από κάθε πλευρά.

Ο αριθμός τους υπολογίζεται ως:

$ N_{\text{εσωτ}} = (n - 2)^3 $

όπου $n$ ο αριθμός μικρών κύβων σε κάθε ακμή.