Βήμα 1: Υπολογισμός συνολικού αριθμού μικρών κύβων

Ο αρχικός κύβος έχει ακμή 10 cm και κόβεται σε μικρούς κύβους ακμής 1 cm. Ο αριθμός τους είναι:

$10 \times 10 \times 10 = 1000$

Βήμα 2: Προσδιορισμός κύβων με μία μόνο βαμμένη πλευρά

Κύβοι με μία μόνο βαμμένη πλευρά βρίσκονται μόνο στις επιφάνειες, αλλά όχι στις ακμές ή στις γωνίες.

Σε κάθε επιφάνεια, οι κύβοι που έχουν μόνο μία βαμμένη πλευρά είναι αυτοί που βρίσκονται εσωτερικά της επιφάνειας, δηλαδή αφαιρούμε το περίγραμμα.

Σε κάθε πλευρά

Η πλευρά είναι τετράγωνο $10 \times 10 = 100$ κύβοι.

Αφαιρούμε το περίγραμμα (πλάτος 1 κύβος γύρω), μένουν:

$(10 - 2) \times (10 - 2) = 8 \times 8 = 64$

Βήμα 3: Υπολογισμός για όλες τις πλευρές

Ο κύβος έχει 6 ίσες επιφάνειες, άρα συνολικά:

$6 \times 64 = 384$

Βήμα 4: Επαλήθευση

Συνολικοί μικροί κύβοι: 1000.

Αυτοί χωρίζονται σε:

• Γωνιακοί: $8$ (3 πλευρές βαμμένες)
• Ακμιακοί (χωρίς γωνίες): $12 \times (10-2) = 12 \times 8 = 96$ (2 πλευρές βαμμένες)
• Μία πλευρά βαμμένη: $384$
• Καθόλου βαμμένοι (εσωτερικοί): $(10-2)^3 = 8^3 = 512$

Έλεγχος: $8 + 96 + 384 + 512 = 1000$

Σωστή απάντηση

$\mathbf{Δ:\ 384}$

Θεωρία

Για να βρούμε πόσα μικρά κυβικά έχουν μία μόνο βαμμένη πλευρά μετά από κοπή:

1. Ο αρχικός κύβος ακμής $n$ κόβεται σε $n^3$ μικρούς κύβους ακμής 1.
2. Κύβοι με 1 βαμμένη πλευρά βρίσκονται μόνο στην «εσωτερική περιοχή» κάθε επιφάνειας, που προκύπτει αφαιρώντας το περίγραμμα.
3. Σε κάθε επιφάνεια, αυτοί οι κύβοι είναι $(n - 2) \times (n - 2)$.
4. Πολλαπλασιάζουμε αυτό το πλήθος με το 6 (αριθμός επιφανειών).
5. Γενικός τύπος: $6 \times (n - 2)^2$.