Βήμα 1 – Ορισμός μεταβλητών

Έστω ότι τα χρήματα του Νίκου είναι (x) ευρώ.

Τότε, τα χρήματα του Γιώργου είναι (x + 20) ευρώ.

Βήμα 2 – Μετατροπή της συνθήκης σε εξίσωση

Δίνεται ότι το τετράγωνο των χρημάτων του Γιώργου είναι κατά 800 μεγαλύτερο από το τετράγωνο των χρημάτων του Νίκου:

$ (x + 20)^2 = x^2 + 800 $

Βήμα 3 – Ανάπτυξη και απλοποίηση

Αναπτύσσουμε το αριστερό μέλος:

$ x^2 + 40x + 400 = x^2 + 800 $

Αφαιρούμε $x^2$ και από τα δύο μέλη:

$ 40x + 400 = 800 $

Βήμα 4 – Επίλυση για το x

Αφαιρούμε 400 και από τα δύο μέλη:

$ 40x = 400 $

Διαιρούμε και τα δύο μέλη με 40:

$ x = 10 $

Βήμα 5 – Υπολογισμός των ποσών

Νίκος: $x = 10$ ευρώ

Γιώργος: $x + 20 = 30$ ευρώ

Μαζί: $10 + 30 = 40$ ευρώ

Βήμα 6 – Επαλήθευση

Τετράγωνο Γιώργου: $30^2 = 900$

Τετράγωνο Νίκου: $10^2 = 100$

Διαφορά: $900 - 100 = 800$ (σωστό)

Τελική απάντηση

40€ (Επιλογή Α)

Θεωρία

Η άσκηση βασίζεται στη διαφορά τετραγώνων και στην επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων. Συγκεκριμένα, όταν γνωρίζουμε ότι δύο ποσά διαφέρουν κατά ένα σταθερό αριθμό και δίνεται διαφορά τετραγώνων, μπορούμε να ορίσουμε μεταβλητές, να εκφράσουμε την πληροφορία ως εξίσωση και να την λύσουμε. Η ανάπτυξη του $(x+a)^2$ γίνεται με τον τύπο:

$ (x + a)^2 = x^2 + 2ax + a^2 $

Η τεχνική αυτή είναι χρήσιμη για προβλήματα που εμπλέκουν σχέσεις μεταξύ ποσών και των τετραγώνων τους.