Βήμα 1: Ανάλυση του προβλήματος

Μας ζητείται το τελευταίο ψηφίο του αριθμού $5^{128}$. Το τελευταίο ψηφίο ενός αριθμού εξαρτάται μόνο από το τελευταίο ψηφίο της βάσης και το εκθέτη, οπότε αρκεί να εξετάσουμε το μοτίβο που δημιουργείται από δυνάμεις του 5.

Βήμα 2: Εξέταση των πρώτων δυνάμεων του 5

$5^1 = 5$ → τελευταίο ψηφίο: 5
$5^2 = 25$ → τελευταίο ψηφίο: 5
$5^3 = 125$ → τελευταίο ψηφίο: 5
$5^4 = 625$ → τελευταίο ψηφίο: 5

Βήμα 3: Εντοπισμός του μοτίβου

Παρατηρούμε ότι για οποιονδήποτε θετικό ακέραιο $n$, το $5^n$ έχει τελευταίο ψηφίο 5. Το μοτίβο είναι σταθερό: πάντα 5.

Βήμα 4: Εφαρμογή στο $5^{128}$

Αφού το μοτίβο ισχύει για όλες τις δυνάμεις, το τελευταίο ψηφίο του $5^{128}$ είναι επίσης 5.

Βήμα 5: Επαλήθευση

Οποιαδήποτε δύναμη του 5 είναι πολλαπλάσιο του 5 και έχει μορφή $...5$, άρα το τελευταίο ψηφίο δεν αλλάζει ποτέ. Η παρατήρηση επαληθεύεται από την ιδιότητα πολλαπλασιασμού: $5 \times 5 = 25$ (τελευταίο ψηφίο 5), $25 \times 5 = 125$ (τελευταίο ψηφίο 5) κ.ο.κ.

Τελική απάντηση

Σωστή επιλογή: Α: 5

Θεωρία

1. Μοτίβα τελευταίων ψηφίων

Το τελευταίο ψηφίο των δυνάμεων ενός αριθμού εξαρτάται από τον κύκλο επανάληψης που δημιουργείται στο modulo 10. Για παράδειγμα:

• $2^n$: κύκλος 2, 4, 8, 6
• $3^n$: κύκλος 3, 9, 7, 1
• $4^n$: κύκλος 4, 6
• $5^n$: κύκλος 5 (σταθερός)

2. Ιδιότητες πολλαπλασιασμού

Αν ένας αριθμός τελειώνει σε 5, τότε όταν πολλαπλασιαστεί με 5, το γινόμενο θα τελειώνει επίσης σε 5. Αυτό οδηγεί σε σταθερό μοτίβο τελευταίου ψηφίου για όλες τις δυνάμεις του 5.

3. Υπολογισμός με Modulo

Ο υπολογισμός του τελευταίου ψηφίου μπορεί να γίνει με υπολογισμό στο $\text{mod}\ 10$. Εδώ: $$ 5^{128} \ (\text{mod}\ 10) = 5 $$ γιατί $5^n \equiv 5 \ (\text{mod}\ 10)$ για κάθε $n \ge 1$.