Βήμα 1: Ορισμός μεταβλητών

Έστω ότι η τιμή κόστους του προϊόντος Α είναι 6x ευρώ και η τιμή κόστους του προϊόντος Β είναι 5x ευρώ, αφού ο λόγος κόστους είναι 6:5.

Βήμα 2: Έκφραση τιμών πώλησης

Ο λόγος τιμών πώλησης είναι 4:3. Έστω ότι η τιμή πώλησης του προϊόντος Α είναι 4y ευρώ και του προϊόντος Β είναι 3y ευρώ.

Βήμα 3: Σύνδεση τιμών πώλησης και κόστους με ζημιά

Ζημιά 80 ευρώ σημαίνει:

$ \text{Τιμή Πώλησης} = \text{Κόστος} - 80 $

Για το προϊόν Α:

$ 4y = 6x-80 $

Για το προϊόν Β:

$ 3y = 5x-80 $

Βήμα 4: Επίλυση συστήματος εξισώσεων

Από την πρώτη εξίσωση: $ y = \frac{6x-80}{4} $

Από τη δεύτερη εξίσωση: $ y = \frac{5x-80}{3} $

Ισότητα των δύο εκφράσεων:

$ \frac{6x-80}{4} = \frac{5x-80}{3} $

Πολλαπλασιάζουμε χιαστί:

$ 3(6x-80) = 4(5x-80) $

$ 18x-240 = 20x-320 $

$ -240 + 320 = 20x-18x $

$ 80 = 2x $

$ x = 40 $

Βήμα 5: Εύρεση τιμών κόστους

Κόστος Α: $ 6x = 6 \cdot 40 = 240 $ ευρώ

Κόστος Β: $ 5x = 5 \cdot 40 = 200 $ ευρώ

Βήμα 6: Επαλήθευση

Τιμές πώλησης:

Για το Α: $ 4y = 6x-80 = 240-80 = 160 $ → $ y = 40 $ → τιμή πώλησης Α = $ 160 $ ευρώ.

Για το Β: $ 3y = 5x-80 = 200-80 = 120 $ → $ y = 40 $ → τιμή πώλησης Β = $ 120 $ ευρώ.

Λόγος πώλησης: $ 160 : 120 = 4 : 3 $

Ζημιά: $ 240 - 160 = 80 $ ευρώ και $ 200 - 120 = 80 $ ευρώ

Σωστή απάντηση

Α: Α = 240, Β = 200

Θεωρία

Λόγος και Αναλογίες

Ο λόγος δύο αριθμών είναι η διαίρεσή τους. Αν $a:b = m:n$, τότε $\frac{a}{b} = \frac{m}{n}$.

Όταν δύο λόγοι είναι ίσοι, σχηματίζουν μια αναλογία: $a:b = c:d$ σημαίνει ότι $a \cdot d = b \cdot c$.

Συστήματα Εξισώσεων

Ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους μπορεί να λυθεί με αντικατάσταση ή με μέθοδο πρόσθεσης/αφαίρεσης. Εδώ χρησιμοποιήθηκε η μέθοδος της αντικατάστασης: εκφράσαμε την ίδια μεταβλητή $y$ από δύο εξισώσεις και εξισώσαμε τα αποτελέσματα.

Έννοια ζημιάς/κέρδους

Αν $Τ_π$ είναι η τιμή πώλησης και $Τ_κ$ η τιμή κόστους, τότε:

• Κέρδος: $ Τ_π-Τ_κ $ (θετικό αποτέλεσμα)
• Ζημιά: $ Τ_κ-Τ_π $ (θετικό αποτέλεσμα)

Στην άσκηση, η ζημιά δόθηκε ως σταθερό ποσό 80€, γεγονός που επέτρεψε τη δημιουργία γραμμικών εξισώσεων.