Βήμα 1: Διατύπωση των συνθηκών χωρίς χρήση modulo

Ο ζητούμενος αριθμός, έστω x, όταν διαιρεθεί με το 6 αφήνει υπόλοιπο 2. Αυτό σημαίνει:

$x = 6k + 2$   όπου $k \in \mathbb{Z}$

Επίσης, όταν διαιρεθεί με το 10 αφήνει υπόλοιπο 6, δηλαδή:

$x = 10m + 6$   όπου $m \in \mathbb{Z}$

Βήμα 2: Επίλυση του συστήματος

Από τις δύο εκφράσεις:

$6k + 2 = 10m + 6$

Μεταφέρουμε τους όρους:

$6k - 10m = 4$

Διαιρούμε με 2:

$3k - 5m = 2$

Βήμα 3: Εύρεση ακέραιων λύσεων

Λύνουμε ως προς $k$:

$3k = 5m + 2$

Για να είναι $k$ ακέραιος, το $5m + 2$ πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 3.

Αν $m = 3t + 2$, τότε:

$k = \frac{5(3t + 2) + 2}{3} = \frac{15t + 10 + 2}{3} = \frac{15t + 12}{3} = 5t + 4$

Βήμα 4: Εύρεση γενικού τύπου για το x

Αντικαθιστούμε στο $x = 6k + 2$:

$x = 6(5t + 4) + 2 = 30t + 24 + 2 = 30t + 26$

Άρα οι λύσεις έχουν τη μορφή:

$x = 30t + 26$,   $t \in \mathbb{Z}$

Βήμα 5: Έλεγχος των δοθέντων αριθμών

• Α: 44 → $44 - 26 = 18$, το 18 δεν είναι πολλαπλάσιο του 30 → όχι
• Β: 14 → $14 - 26 = -12$, το -12 δεν είναι πολλαπλάσιο του 30 → όχι
• Γ: 20 → $20 - 26 = -6$, το -6 δεν είναι πολλαπλάσιο του 30 → όχι
• Δ: 26 → $26 - 26 = 0$, το 0 είναι πολλαπλάσιο του 30 → σωστό
• Ε: 32 → $32 - 26 = 6$, το 6 δεν είναι πολλαπλάσιο του 30 → όχι

Βήμα 6: Επαλήθευση

Για $x = 26$:

Διαίρεση με 6: $26 = 4 \cdot 6 + 2$ → υπόλοιπο 2

Διαίρεση με 10: $26 = 2 \cdot 10 + 6$ → υπόλοιπο 6

Σωστή απάντηση:

Δ: 26

Θεωρία

Σύνδεση υπολοίπων με μορφές πολλαπλάσιων

Όταν ένας αριθμός δίνει συγκεκριμένο υπόλοιπο στη διαίρεση με έναν διαιρέτη, μπορεί να εκφραστεί ως:

$x = qn + r$

όπου $n$ ο διαιρέτης, $q$ το πηλίκο και $r$ το υπόλοιπο. Αν υπάρχουν δύο τέτοιες συνθήκες, προκύπτει ένα σύστημα δύο εξισώσεων που μπορεί να λυθεί με εξάλειψη ή αντικατάσταση για να βρεθεί ο κοινός αριθμός που τις ικανοποιεί.