Βήμα 1: Ορισμός μεταβλητών

Έστω ότι ο τριψήφιος αριθμός είναι 100x + 10y + z, όπου:

• x = ψηφίο εκατοντάδων
• y = ψηφίο δεκάδων
• z = ψηφίο μονάδων

Δίνεται ότι: $ z = 2x $

Βήμα 2: Περιγραφή της αλλαγής ψηφίων

Με την ανταλλαγή των ψηφίων μονάδων και δεκάδων, ο νέος αριθμός γίνεται:

$ 100x + 10z + y $

Δίνεται ότι ο νέος αριθμός είναι κατά 27 μικρότερος από τον αρχικό:

$ 100x + 10z + y = (100x + 10y + z) - 27 $

Βήμα 3: Απλοποίηση της εξίσωσης

Αφαιρούμε $100x$ και από τις δύο πλευρές:

$ 10z + y = 10y + z - 27 $

Μεταφέρουμε τα μέλη:

$ 10z - z + y - 10y = -27 $

$ 9z - 9y = -27 $

Διαιρούμε με 9:

$ z - y = -3 $

Βήμα 4: Χρήση της σχέσης $ z = 2x $

Από $ z - y = -3 $ παίρνουμε $ y = z + 3 $.

Άρα $ y = 2x + 3 $.

Βήμα 5: Εύρεση τιμών των ψηφίων

Τα $x, y, z$ είναι ψηφία (0 έως 9) και $z = 2x$.

Επιπλέον, $y = 2x + 3 \leq 9$.

Από την ανίσωση: $2x + 3 \leq 9 \implies 2x \leq 6 \implies x \leq 3$.

• Αν $x = 1$: $z = 2$, $y = 5$ → αριθμός = 152
• Αν $x = 2$: $z = 4$, $y = 7$ → αριθμός = 274
• Αν $x = 3$: $z = 6$, $y = 9$ → αριθμός = 396

Βήμα 6: Έλεγχος με τη συνθήκη της μείωσης κατά 27

• Για $x=1$: Νέος αριθμός = 125, διαφορά = 27
• Για $x=2$: Νέος αριθμός = 247, διαφορά = 27
• Για $x=3$: Νέος αριθμός = 369, διαφορά = 27

Μόνο ένας από αυτούς είναι στις δοθείσες επιλογές και είναι ο 247.

Τελική απάντηση

247

Θεωρία

Ανάλυση τριψήφιου αριθμού

Κάθε τριψήφιος αριθμός $abc$ μπορεί να γραφεί ως $100a + 10b + c$, όπου $a, b, c$ είναι τα ψηφία του.

Αντικατάσταση και εξισώσεις

Όταν δίνονται σχέσεις μεταξύ ψηφίων, μπορούμε να τις εκφράσουμε ως εξισώσεις (π.χ. $z = 2x$) και να τις συνδυάσουμε με άλλες συνθήκες.

Ανταλλαγή ψηφίων

Η αλλαγή θέσης ψηφίων αντιστοιχεί σε αλλαγή των συντελεστών τους στον τύπο $100x + 10y + z$.

Έλεγχος λύσεων

Οι τιμές που προκύπτουν πρέπει να είναι ακέραιοι αριθμοί από 0 έως 9 για κάθε ψηφίο και να ικανοποιούν όλες τις συνθήκες.