Βήμα 1: Ομαδοποίηση των όρων

Η ακολουθία δίνεται ως:

$1^2 - 2^2 - 3^2 + 4^2 + 5^2 - 6^2 - 7^2 + 8^2 + \dots + 25^2 - 26^2 - 27^2 + 28^2$

Παρατηρούμε ότι οι όροι επαναλαμβάνουν το μοτίβο:

$(+a^2) - (a+1)^2 - (a+2)^2 + (a+3)^2$

Επομένως, ομαδοποιούμε κάθε τέσσερις συνεχόμενους όρους.

Βήμα 2: Υπολογισμός γενικού όρου κάθε ομάδας

Μια ομάδα είναι:

$a^2 - (a+1)^2 - (a+2)^2 + (a+3)^2$

Αναπτύσσουμε τα τετράγωνα:

$a^2 - (a^2 + 2a + 1) - (a^2 + 4a + 4) + (a^2 + 6a + 9)$

Απλοποιούμε:

$a^2 - a^2 - 2a - 1 - a^2 - 4a - 4 + a^2 + 6a + 9$

Οι όροι $a^2$ απλοποιούνται πλήρως και μένει:

$(-2a - 1) + (-4a - 4) + (6a + 9)$

Αθροίζουμε τους συντελεστές:

$(-2a - 4a + 6a) + (-1 - 4 + 9) = 0a + 4 = 4$

Άρα κάθε τετράδα δίνει άθροισμα 4.

Βήμα 3: Πλήθος τετράδων

Η ακολουθία ξεκινά από $1$ και φτάνει μέχρι $28$.

Αριθμός όρων: 28.

Κάθε τετράδα έχει 4 όρους, άρα υπάρχουν:

$\frac{28}{4} = 7$ τετράδες.

Βήμα 4: Συνολικό άθροισμα

Κάθε τετράδα = 4, άρα:

$7 \times 4 = 28$

Βήμα 5: Επαλήθευση με άμεσο άθροισμα

Υπολογίζουμε απευθείας:

$(1 - 4 - 9 + 16) = 4$
$(25 - 36 - 49 + 64) = 4$
$(81 - 100 - 121 + 144) = 4$
$(169 - 196 - 225 + 256) = 4$
$(289 - 324 - 361 + 400) = 4$
$(441 - 484 - 529 + 576) = 4$
$(625 - 676 - 729 + 784) = 4$

Άθροισμα: $4 \times 7 = 28$

Τελική απάντηση

Δ: 28

Θεωρία

1. Ομαδοποίηση όρων

Όταν έχουμε επαναλαμβανόμενο μοτίβο σε ακολουθία, μπορούμε να ομαδοποιήσουμε τους όρους σε ομάδες που δίνουν σταθερό άθροισμα. Αυτό μειώνει τον αριθμό των πράξεων.

2. Ανάπτυξη τετραγώνων

Ο τύπος $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ και $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ χρησιμοποιείται για την ανάλυση και απλοποίηση.

3. Άθροισμα επαναλαμβανόμενων ομάδων

Αν κάθε ομάδα δίνει σταθερό άθροισμα $S$ και υπάρχουν $n$ ομάδες, το συνολικό άθροισμα είναι $n \times S$.