Βήμα 1: Ορισμός μεταβλητών

Έστω ότι η Ελένη έχει $x$ ευρώ.

Βήμα 2: Εκφράζουμε τα ποσά των άλλων

Ο Μάριος έχει $x + 15$ ευρώ.

Η Άννα έχει διπλάσια χρήματα από τον Μάριο, δηλαδή $2(x + 15)$ ευρώ.

Βήμα 3: Χρήση της συνθήκης διαφοράς Άννας - Ελένης

Δίνεται ότι η Άννα έχει 45 ευρώ περισσότερα από την Ελένη, άρα:

$2(x + 15) - x = 45$

Βήμα 4: Επίλυση της εξίσωσης

$2x + 30 - x = 45$

$x + 30 = 45$

$x = 15$

Βήμα 5: Υπολογισμός των χρημάτων του καθενός

Ελένη: $15$ ευρώ.

Μάριος: $15 + 15 = 30$ ευρώ.

Άννα: $2 \cdot 30 = 60$ ευρώ.

Βήμα 6: Υπολογισμός του συνολικού ποσού

$15 + 30 + 60 = 105$

Βήμα 7: Επαλήθευση

• Ο Μάριος έχει 15 ευρώ περισσότερα από την Ελένη: $30 - 15 = 15$
• Η Άννα έχει διπλάσια από τον Μάριο: $60 = 2 \cdot 30$
• Η Άννα έχει 45 ευρώ περισσότερα από την Ελένη: $60 - 15 = 45$

Τελική απάντηση

Ε: 105

Θεωρία

Μεθοδολογία επίλυσης προβλημάτων με λόγους και διαφορές

Όταν έχουμε πρόβλημα που συνδυάζει πληροφορίες για λόγους (π.χ. «διπλάσια») και για διαφορές (π.χ. «περισσότερα κατά»), η συνήθης μέθοδος είναι:

1. Ορίζουμε μία μεταβλητή για το άγνωστο ποσό.
2. Μεταφράζουμε όλες τις σχέσεις του προβλήματος σε εξισώσεις.
3. Χρησιμοποιούμε τις εξισώσεις για να βρούμε την τιμή της μεταβλητής.
4. Υπολογίζουμε τα υπόλοιπα μεγέθη με αντικατάσταση.
5. Κάνουμε επαλήθευση για να σιγουρευτούμε ότι όλες οι συνθήκες ικανοποιούνται.

Η βασική αρχή είναι η μετατροπή του λεκτικού προβλήματος σε μαθηματική μορφή, ώστε να μπορούμε να το λύσουμε με αλγεβρικές μεθόδους.