Βήμα 1: Θέτουμε αλγεβρική σχέση

Έστω ότι ο μικρότερος από τους δύο διαδοχικούς θετικούς αριθμούς είναι x. Ο επόμενος διαδοχικός αριθμός είναι x + 1. Άρα το γινόμενο τους δίνεται από την εξίσωση:

$x(x+1) = 506$

Βήμα 2: Αναπτύσσουμε την εξίσωση

$x^2 + x = 506$

Βήμα 3: Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο ένα μέλος

$x^2 + x - 506 = 0$

Βήμα 4: Εφαρμόζουμε τον τύπο της διακρίνουσας

Για την εξίσωση $ax^2 + bx + c = 0$ έχουμε:

$\Delta = b^2 - 4ac$

Εδώ: $a = 1,\ b = 1,\ c = -506$

$\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-506) = 1 + 2024 = 2025$

Βήμα 5: Εύρεση ριζών

$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{2025}}{2}$

Υπολογίζουμε $\sqrt{2025}$:

$\sqrt{2025} = 45$

Άρα:

$x = \frac{-1 \pm 45}{2}$

Θετική ρίζα:

$x = \frac{-1 + 45}{2} = \frac{44}{2} = 22$

Αρνητική ρίζα:

$x = \frac{-1 - 45}{2} = \frac{-46}{2} = -23$ (απορρίπτεται γιατί ζητούνται θετικοί αριθμοί)

Βήμα 6: Εύρεση του επόμενου αριθμού

Ο επόμενος διαδοχικός αριθμός είναι:

$x + 1 = 22 + 1 = 23$

Βήμα 7: Επαλήθευση

$22 \cdot 23 = 506$

Η εξίσωση επαληθεύεται.

Σωστή απάντηση

Β: 22, 23

Θεωρία

Εξίσωση γινομένου διαδοχικών αριθμών

Όταν ζητείται το γινόμενο δύο διαδοχικών αριθμών, αν ο μικρότερος είναι x, τότε ο επόμενος είναι x+1 και η εξίσωση γράφεται ως:

$x(x+1) = \text{δοσμένος αριθμός}$

Λύση τριωνύμου με τον τύπο της διακρίνουσας

Για κάθε δευτεροβάθμια εξίσωση $ax^2 + bx + c = 0$ ο τύπος της διακρίνουσας είναι:

$\Delta = b^2 - 4ac$

Οι ρίζες δίνονται από:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

Αν η διακρίνουσα είναι τέλειο τετράγωνο και οι ρίζες θετικοί ακέραιοι, τότε αυτοί αποτελούν τη λύση του προβλήματος.