Βήμα 1: Ορισμός μεταβλητών

Έστω ότι ο Κώστας, η Ελένη και ο Μάριος έχουν αρχικά K, E και M ευρώ αντίστοιχα.

Βήμα 2: Περιγραφή των συναλλαγών

Μετά τις συναλλαγές:

• Ο Κώστας δίνει 15€ στην Ελένη: Νέο ποσό Κώστα: K - 15
• Η Ελένη παίρνει 15€ από τον Κώστα και δίνει 10€ στον Μάριο: Νέο ποσό Ελένης: E + 15 - 10 = E + 5
• Ο Μάριος παίρνει 10€ από την Ελένη: Νέο ποσό Μάριου: M + 10

Βήμα 3: Ισότητα ποσών

Μετά τις συναλλαγές, και οι τρεις έχουν το ίδιο ποσό:

$K - 15 = E + 5 = M + 10$

Βήμα 4: Συσχέτιση αρχικών ποσών

Από την ισότητα $K - 15 = E + 5$ προκύπτει:

$K - E = 20$

Η σχέση με τον Μάριο δεν είναι απαραίτητη για την ερώτηση, καθώς ζητείται η διαφορά Κώστα – Ελένης.

Βήμα 5: Τελική απάντηση

Ο Κώστας είχε 20€ περισσότερα από την Ελένη αρχικά.

Σωστή επιλογή: Α (20)

Βήμα 6: Επαλήθευση

Έστω ότι η Ελένη είχε αρχικά 0€, τότε ο Κώστας είχε 20€, και ας βρούμε τον Μάριο ώστε να ισχύουν οι συνθήκες:

• Αρχικά: Κώστας 20€, Ελένη 0€, Μάριος M €
• Μετά τις συναλλαγές: Κώστας: 5€, Ελένη: 5€, Μάριος: M + 10 €
• Ισότητα: $M + 10 = 5 \Rightarrow M = -5$

Άρα αν ο Μάριος είχε αρχικά -5€ (χρέος 5€), οι τρεις θα είχαν 5€ μετά τις συναλλαγές. Η διαφορά Κώστα – Ελένης είναι όντως 20€.

Θεωρία

Εξισώσεις και προβλήματα με συναλλαγές

Τα προβλήματα αυτού του τύπου λύνονται με τα εξής βήματα:

1. Ορισμός μεταβλητών για τα άγνωστα ποσά.
2. Περιγραφή των αλλαγών με μαθηματικές εκφράσεις.
3. Χρήση των συνθηκών του προβλήματος (π.χ. ίσα ποσά στο τέλος) για να γραφούν εξισώσεις.
4. Λύση των εξισώσεων για να βρεθούν οι ζητούμενες διαφορές ή ποσά.
5. Επαλήθευση της λύσης με αντικατάσταση στις αρχικές συνθήκες.

Η βασική ιδέα είναι ότι κάθε συναλλαγή αλλάζει ισόποσα το ποσό δύο ατόμων, οπότε η συνολική μεταβολή είναι εύκολο να εκφραστεί αλγεβρικά και να συγκριθεί.