Βήμα 1: Αναγνώριση δεδομένων

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο με:

• Υποτείνουσα: $5x$
• Μία κάθετη πλευρά: $3x$

Βήμα 2: Εύρεση της άλλης κάθετης πλευράς

Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα:

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Θέτουμε $a = 3x$, $c = 5x$, και $b$ η άγνωστη κάθετη πλευρά:

$(3x)^{2} + b^{2} = (5x)^{2}$

$9x^{2} + b^{2} = 25x^{2}$

$b^{2} = 25x^{2} - 9x^{2}$

$b^{2} = 16x^{2}$

$b = 4x$

Βήμα 3: Υπολογισμός εμβαδού

Το εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου είναι:

$E = \frac{1}{2} \cdot (\text{πλευρά}_1) \cdot (\text{πλευρά}_2)$

Άρα:

$E = \frac{1}{2} \cdot (3x) \cdot (4x)$

$E = \frac{1}{2} \cdot 12x^{2}$

$E = 6x^{2}$

Βήμα 4: Επαλήθευση

Με υποτείνουσα $5x$ και πλευρές $3x$ και $4x$:

$(3x)^{2} + (4x)^{2} = 9x^{2} + 16x^{2} = 25x^{2} = (5x)^{2}$

Η σχέση ικανοποιείται, άρα η λύση είναι σωστή.

Τελική απάντηση

$\mathbf{6x^{2}}$ (Επιλογή Β)

Θεωρία

Πυθαγόρειο Θεώρημα

Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές $a$, $b$ και υποτείνουσα $c$ ισχύει:

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Εμβαδόν Ορθογωνίου Τριγώνου

Το εμβαδόν υπολογίζεται από τον τύπο:

$E = \frac{1}{2} \cdot (\text{κάθετη πλευρά}_1) \cdot (\text{κάθετη πλευρά}_2)$