Βήμα 1: Σχηματισμός ορθογωνίου τριγώνου

Θεωρούμε ότι ο δρόμος είναι η υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου, όπου η γωνία κλίσης είναι $45^\circ$ και το ύψος του λόφου είναι η απέναντι κάθετη πλευρά.

Βήμα 2: Εφαρμογή τριγωνομετρικού τύπου

Για γωνία $45^\circ$ ισχύει:

$ημ 45^\circ = \dfrac{\text{ύψος}}{\text{μήκος δρόμου}}$

Βήμα 3: Αντικατάσταση δεδομένων

Γνωρίζουμε ότι $ημ 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ και το μήκος του δρόμου είναι $100\sqrt{2}$, οπότε:

$\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{\text{ύψος}}{100\sqrt{2}}$

Βήμα 4: Επίλυση ως προς το ύψος

Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με $100\sqrt{2}$:

$\text{ύψος} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot 100\sqrt{2}$

$\text{ύψος} = \dfrac{100 \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2})}{2}$

$\text{ύψος} = \dfrac{100 \cdot 2}{2}$

$\text{ύψος} = 100$

Βήμα 5: Επαλήθευση

Η υποτείνουσα είναι $100\sqrt{2}$ και η κάθετη πλευρά είναι 100. Ελέγχουμε με Πυθαγόρειο Θεώρημα:

$\sqrt{100^2 + 100^2} = \sqrt{10000 + 10000} = \sqrt{20000} = 100\sqrt{2}$

Η επαλήθευση είναι σωστή.

Βήμα 6: Σωστή απάντηση

Η σωστή επιλογή είναι η Γ: 100 μέτρα.

Θεωρία

Τριγωνομετρία σε ορθογώνιο τρίγωνο

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, για μια οξεία γωνία $\theta$ ισχύουν:

• $ημ\theta = \dfrac{\text{απέναντι κάθετη πλευρά}}{\text{υποτείνουσα}}$
• $συν\theta = \dfrac{\text{προσκείμενη κάθετη πλευρά}}{\text{υποτείνουσα}}$
• $εφ\theta = \dfrac{\text{απέναντι κάθετη πλευρά}}{\text{προσκείμενη κάθετη πλευρά}}$

Για γωνία $45^\circ$ έχουμε $ημ 45^\circ = συν 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Η εφαρμογή αυτών των σχέσεων επιτρέπει τον υπολογισμό πλευρών ορθογωνίου τριγώνου όταν είναι γνωστή μία πλευρά και μία γωνία (εκτός της ορθής).