Βήμα 1: Προσδιορισμός κλίσεων

Για την πρώτη ευθεία $y = -2x + 5$ η κλίση είναι $m_1 = -2$.

Για τη δεύτερη ευθεία $y = \frac{1}{2}x + 5$ η κλίση είναι $m_2 = \frac{1}{2}$.

Βήμα 2: Έλεγχος παραλληλίας

Οι ευθείες είναι παράλληλες αν $m_1 = m_2$.

Εδώ $-2 \neq \frac{1}{2}$, άρα δεν είναι παράλληλες.

Βήμα 3: Έλεγχος καθετότητας

Οι ευθείες είναι κάθετες αν $m_1 \cdot m_2 = -1$.

Υπολογισμός: $(-2) \cdot \frac{1}{2} = -1$, που ισχύει.

Άρα οι ευθείες είναι κάθετες.

Βήμα 4: Σημείο τομής

Λύνουμε το σύστημα:

$-2x + 5 = \frac{1}{2}x + 5$

Αφαιρούμε 5 και από τις δύο πλευρές:

$-2x = \frac{1}{2}x$

Πολλαπλασιάζουμε με 2:

$-4x = x$

Μεταφέρουμε το $x$:

$-5x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0$

Αντικαθιστούμε σε μία εξίσωση:

$y = -2 \cdot 0 + 5 = 5$

Σημείο τομής: $(0,\,5)$.

Βήμα 5: Έλεγχος θέσης τομής

Το σημείο τομής έχει $x = 0$, άρα βρίσκεται πάνω στον άξονα $Y$.

Συνεπώς ισχύει και η δήλωση 5.

Βήμα 6: Επιλογή σωστής απάντησης

Ισχύουν: (2) Κάθετες και (5) Τέμνονται στον άξονα $Y$.

Σύμφωνα με τις επιλογές, η σωστή είναι η Β.

Βήμα 7: Επαλήθευση

Ελέγχουμε ξανά:

• Κλίσεις: $-2$ και $\frac{1}{2}$, γινόμενο $-1$ ⇒ κάθετες
• Τομή: $(0,5)$ ⇒ στον άξονα $Y$

Άρα η απάντηση είναι απολύτως ορθή.

Θεωρία

Κλίση ευθείας

Μία ευθεία στην μορφή $y = mx + b$ έχει κλίση $m$ και τεταγμένη τομής $b$.

Παράλληλες ευθείες

Δύο ευθείες είναι παράλληλες αν έχουν την ίδια κλίση ($m_1 = m_2$) και διαφορετική τεταγμένη τομής.

Κάθετες ευθείες

Δύο ευθείες είναι κάθετες αν το γινόμενο των κλίσεων είναι $-1$ ($m_1 \cdot m_2 = -1$).

Σημείο τομής

Για να βρούμε το σημείο τομής δύο ευθειών, λύνουμε το σύστημα των εξισώσεών τους. Αν το $x$ του σημείου είναι 0, η τομή βρίσκεται πάνω στον άξονα $Y$.

Συνοπτικά

Η κλίση και η θέση του σημείου τομής καθορίζουν αν οι ευθείες είναι παράλληλες, κάθετες ή τέμνονται με άλλο τρόπο.