Βήμα 1: Ορισμός μεταβλητών

Έστω ότι:

• $x$ = μισθοί τμήματος Παραγωγής
• $y$ = μισθοί τμήματος Πωλήσεων
• $z$ = μισθοί τμήματος Διοίκησης

Το αρχικό συνολικό κόστος είναι:

$T = x + y + z$

Βήμα 2: Πληροφορία για το διπλασιασμό Πωλήσεων

Αν οι μισθοί του τμήματος Πωλήσεων διπλασιάζονταν:

$x + 2y + z = 1.5(x + y + z)$

Αναπτύσσουμε:

$x + 2y + z = 1.5x + 1.5y + 1.5z$

Μεταφέρουμε όρους:

$x - 1.5x + 2y - 1.5y + z - 1.5z = 0$

$-0.5x + 0.5y - 0.5z = 0$

Πολλαπλασιάζουμε με 2:

$-x + y - z = 0$

Άρα:

$y = x + z \ \ (1)$

Βήμα 3: Πληροφορία για το μηδενισμό Διοίκησης

Αν οι μισθοί του τμήματος Διοίκησης μηδενίζονταν:

$x + y = 0.8(x + y + z)$

Αναπτύσσουμε:

$x + y = 0.8x + 0.8y + 0.8z$

Μεταφέρουμε όρους:

$x - 0.8x + y - 0.8y - 0.8z = 0$

$0.2x + 0.2y - 0.8z = 0$

Διαιρούμε με 0.2:

$x + y - 4z = 0$

Άρα:

$x + y = 4z \ \ (2)$

Βήμα 4: Επίλυση συστήματος

Από (1) έχουμε: $y = x + z$

Από (2) έχουμε: $x + y = 4z$

Αντικαθιστούμε $y$ στο (2):

$x + (x + z) = 4z$

$2x + z = 4z$

$2x = 3z$

$x = 1.5z$

Από (1): $y = x + z = 1.5z + z = 2.5z$

Βήμα 5: Υπολογισμός ποσοστού Παραγωγής

Το συνολικό κόστος:

$T = x + y + z = 1.5z + 2.5z + z = 5z$

Ποσοστό Παραγωγής:

$\frac{x}{T} = \frac{1.5z}{5z} = 0.3 = 30\%$

Βήμα 6: Επαλήθευση

Αρχικό κόστος: $T = 5z$

Διπλασιασμός Πωλήσεων: $x + 2y + z = 1.5z + 5z + z = 7.5z$

$7.5z / 5z = 1.5$

Μηδενισμός Διοίκησης: $x + y = 1.5z + 2.5z = 4z$

$4z / 5z = 0.8$

Σωστή απάντηση

Α: 30%

Θεωρία

Συστήματα γραμμικών εξισώσεων

Για την επίλυση προβλημάτων που περιγράφονται με λόγια, συχνά μετατρέπουμε την περιγραφή σε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων. Κάθε εξίσωση εκφράζει μία συνθήκη του προβλήματος, και οι μεταβλητές αντιστοιχούν στις άγνωστες ποσότητες.

Ποσοστιαίες μεταβολές

Όταν ένα μέγεθος αυξάνεται ή μειώνεται κατά κάποιο ποσοστό, χρησιμοποιούμε τον τύπο:

Νέο μέγεθος = Αρχικό μέγεθος × (1 ± ποσοστιαία μεταβολή)

Το “+” χρησιμοποιείται για αύξηση, το “−” για μείωση.

Έλεγχος αποτελέσματος

Η επαλήθευση γίνεται αντικαθιστώντας τις τιμές που βρήκαμε πίσω στις αρχικές συνθήκες και ελέγχοντας αν ικανοποιούνται πλήρως.