Βήμα 1: Ορισμός δεδομένων

Αρχική διάμετρος: $D$
Αρχική ακτίνα: $r = \frac{D}{2}$

Βήμα 2: Νέα διάμετρος μετά την αύξηση

Αύξηση 20% στη διάμετρο:
$D_{\text{νέα}} = D + 0.20D = 1.20D$

Βήμα 3: Νέα ακτίνα

$r_{\text{νέα}} = \frac{D_{\text{νέα}}}{2} = \frac{1.20D}{2} = 1.20 \cdot \frac{D}{2} = 1.20r$

Βήμα 4: Αρχικό και νέο εμβαδόν

Αρχικό εμβαδόν:
$A = \pi r^2$
Νέο εμβαδόν:
$A_{\text{νέο}} = \pi (1.20r)^2 = \pi \cdot 1.44r^2 = 1.44\pi r^2$

Βήμα 5: Υπολογισμός ποσοστιαίας μεταβολής

$\%\ \text{μεταβολή} = \frac{A_{\text{νέο}} - A}{A} \cdot 100\% = \frac{1.44\pi r^2 - \pi r^2}{\pi r^2} \cdot 100\%$
$= \frac{0.44\pi r^2}{\pi r^2} \cdot 100\% = 44\%$

Βήμα 6: Επαλήθευση

Αν αρχικά $r=10$, τότε $A=100\pi$.
Με $r_{\text{νέα}} = 12$, $A_{\text{νέο}} = 144\pi$.
Η μεταβολή είναι $144\pi - 100\pi = 44\pi$, που αντιστοιχεί σε 44% αύξηση.

Σωστή απάντηση

Α: 44%

Θεωρία

1. Εμβαδόν κύκλου

Το εμβαδόν κύκλου δίνεται από τον τύπο $A = \pi r^2$, όπου $r$ είναι η ακτίνα.

2. Σχέση διαμέτρου και ακτίνας

Η διάμετρος είναι διπλάσια της ακτίνας: $D = 2r$.

3. Επίδραση ποσοστιαίας μεταβολής σε γραμμικές διαστάσεις

Αν μια γραμμική διάσταση αυξηθεί κατά $x\%$, τότε το εμβαδόν αυξάνεται κατά περίπου $(1+\frac{x}{100})^2 - 1$ σε ποσοστό.

4. Επαλήθευση με υποκατάσταση

Η επαλήθευση μπορεί να γίνει επιλέγοντας τυχαία τιμή για την ακτίνα, υπολογίζοντας αρχικό και νέο εμβαδόν, και βρίσκοντας τη διαφορά.