Βήμα 1 – Καθαρή ετήσια μεταβολή πληθυσμού

Αρχικός πληθυσμός: 2000 ελέφαντες.

Φυσική αύξηση: 40% του τρέχοντος πληθυσμού κάθε χρόνο.

Θάνατοι: 10% του αρχικού πληθυσμού (δηλαδή 10% × 2000 = 200 ελέφαντες) κάθε χρόνο.

Αν $P_n$ είναι ο πληθυσμός στην αρχή του έτους n, τότε μετά από ένα έτος:

Δηλαδή:

Βήμα 2 – Υπολογισμός πληθυσμού ανά έτος

Έτος 1:

Έτος 2:

Έτος 3:

Στο 3ο έτος ο πληθυσμός είναι 4616, που είναι μεγαλύτερος από 4500.

Βήμα 3 – Ελάχιστος αριθμός ετών

Ο πληθυσμός ξεπερνά για πρώτη φορά τους 4500 ελέφαντες στο 3ο έτος.

Βήμα 4 – Επαλήθευση

Έλεγχος:

• Έτος 1: 2000 → +40% = 2800 → -200 = 2600
• Έτος 2: 2600 → +40% = 3640 → -200 = 3440
• Έτος 3: 3440 → +40% = 4816 → -200 = 4616

Η επαλήθευση επιβεβαιώνει το αποτέλεσμα.

Τελική απάντηση:

Β: 3

Θεωρία

Η άσκηση βασίζεται στη διαδοχική εφαρμογή ποσοστιαίων αυξήσεων και σταθερών μεταβολών σε πληθυσμούς. Το βασικό μοντέλο είναι η αναδρομική σχέση:

Σε προβλήματα πληθυσμιακής μεταβολής, όταν η αύξηση δίνεται ως ποσοστό του τρέχοντος πληθυσμού και η μείωση ως σταθερός αριθμός, η εξέλιξη περιγράφεται από γραμμική αναδρομή της μορφής:

με $a > 1$ για ανάπτυξη και $b$ αρνητικό για απώλειες. Για να βρεθεί το ελάχιστο πλήθος βημάτων μέχρι να ξεπεράσει μια τιμή στόχο, υπολογίζονται διαδοχικά οι τιμές μέχρι να επιτευχθεί το όριο.