Βήμα 1 – Ορισμός μεταβλητών

Έστω ότι το ποσοστό των ανδρών στο γυμναστήριο είναι $x\%$. Τότε το ποσοστό των γυναικών είναι $(100 - x)\%$.

Βήμα 2 – Μετατροπή σε δεκαδική μορφή

Το ποσοστό των ανδρών ως δεκαδικός αριθμός: $\frac{x}{100}$

Το ποσοστό των γυναικών ως δεκαδικός αριθμός: $1 - \frac{x}{100}$

Βήμα 3 – Εξίσωση μέσου όρου

$82 \cdot \frac{x}{100} + 68 \cdot \left(1 - \frac{x}{100}\right) = 75$

Βήμα 4 – Απαλοιφή παρενθέσεων

$\frac{82x}{100} + 68 - \frac{68x}{100} = 75$

Βήμα 5 – Ομαδοποίηση όρων

$\frac{82x - 68x}{100} + 68 = 75$

$\frac{14x}{100} + 68 = 75$

Βήμα 6 – Μεταφορά του σταθερού όρου

$\frac{14x}{100} = 75 - 68$

$\frac{14x}{100} = 7$

Βήμα 7 – Επίλυση για $x$

$14x = 700$

$x = 50$

Βήμα 8 – Επαλήθευση

Αν οι άνδρες είναι 50% και οι γυναίκες 50%:

Μέσος όρος = $\frac{82 + 68}{2} = \frac{150}{2} = 75$

Η εξίσωση επαληθεύεται.

Σωστή απάντηση

Α: 50%

Θεωρία

Μέσος όρος σταθμικός

Ο μέσος όρος σταθμικός χρησιμοποιείται όταν κάθε τιμή συμβάλλει στον μέσο όρο με διαφορετικό «βάρος» ή ποσοστό συμμετοχής. Ο γενικός τύπος είναι:

$\bar{x} = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + \dots + w_n x_n}{w_1 + w_2 + \dots + w_n}$

Όπου $w_i$ είναι το βάρος (π.χ. ποσοστό συμμετοχής) της τιμής $x_i$.

Όταν τα βάρη εκφράζονται ως ποσοστά που αθροίζονται στο 100%, ο τύπος γίνεται:

$\bar{x} = p_1 x_1 + p_2 x_2 + \dots + p_n x_n$

με $p_1 + p_2 + \dots + p_n = 1$.

Στην παρούσα άσκηση, $p_1 = \frac{x}{100}$ (άνδρες) και $p_2 = 1 - \frac{x}{100}$ (γυναίκες), $x_1 = 82$, $x_2 = 68$, και ο συνολικός μέσος όρος $\bar{x} = 75$.