Βήμα 1: Ορισμός μεταβλητών

Έστω ότι η αρχική τιμή του λαδιού είναι $P$ και η αρχική κατανάλωση είναι $Q$. Ο αρχικός οικογενειακός προϋπολογισμός για το λάδι είναι:

$A = P \cdot Q$

Βήμα 2: Νέα τιμή μετά την αύξηση

Η τιμή αυξάνεται κατά 50%, άρα η νέα τιμή είναι:

$P_{\text{new}} = P + 0.5P = 1.5P$

Βήμα 3: Υπολογισμός νέας κατανάλωσης για ίδιο κόστος

Θέλουμε το νέο κόστος να είναι ίσο με το αρχικό κόστος $A$:

$P_{\text{new}} \cdot Q_{\text{new}} = P \cdot Q$

Αντικαθιστούμε το $P_{\text{new}}$:

$1.5P \cdot Q_{\text{new}} = P \cdot Q$

Βήμα 4: Απλοποίηση και εύρεση νέας ποσότητας

Διαιρούμε και τα δύο μέλη με $1.5P$:

$Q_{\text{new}} = \frac{P \cdot Q}{1.5P} = \frac{Q}{1.5} = \frac{2Q}{3}$

Βήμα 5: Υπολογισμός ποσοστιαίας μείωσης

Η μείωση της κατανάλωσης είναι:

$Q - Q_{\text{new}} = Q - \frac{2Q}{3} = \frac{Q}{3}$

Άρα, η ποσοστιαία μείωση είναι:

$\frac{\frac{Q}{3}}{Q} = \frac{1}{3}$

Βήμα 6: Επαλήθευση

Αρχικό κόστος: $P \cdot Q$.

Νέο κόστος με $Q_{\text{new}} = \frac{2Q}{3}$ και τιμή $1.5P$:

$1.5P \cdot \frac{2Q}{3} = P \cdot Q$

Η ισότητα ισχύει, άρα η απάντηση είναι σωστή.

Τελική απάντηση

$\frac{1}{3}$ (Επιλογή Α)

Θεωρία

Όταν η τιμή ενός αγαθού αυξάνεται, για να διατηρηθεί σταθερό το συνολικό κόστος, η κατανάλωση πρέπει να μειωθεί αντιστρόφως ανάλογα με την αύξηση της τιμής. Συγκεκριμένα, αν η αρχική τιμή είναι $P$ και αυξηθεί κατά ποσοστό $r$, η νέα τιμή είναι $(1+r)P$. Για να παραμείνει το κόστος $P \cdot Q$ αμετάβλητο, πρέπει να ισχύει:

$(1+r)P \cdot Q_{\text{new}} = P \cdot Q$

Από εδώ προκύπτει:

$Q_{\text{new}} = \frac{Q}{1+r}$

Η ποσοστιαία μείωση δίνεται από:

$\frac{Q - Q_{\text{new}}}{Q} = 1 - \frac{1}{1+r} = \frac{r}{1+r}$

Για $r = 0.5$ έχουμε μείωση $\frac{0.5}{1.5} = \frac{1}{3}$.