Μια δευτεροβάθμια εξίσωση έχει τη γενική μορφή:

$$ax^2 + bx + c = 0,\quad a \neq 0$$

Η λύση της δίνεται από τον γνωστό τύπο:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Η ποσότητα $\Delta = b^2-4ac$ ονομάζεται διακρίνουσα και καθορίζει το είδος των λύσεων:

• Αν $\Delta > 0$, υπάρχουν δύο πραγματικές και άνισες λύσεις.
• Αν $\Delta = 0$, υπάρχουν δύο πραγματικές και ίσες λύσεις.
• Αν $\Delta < 0$, δεν υπάρχουν πραγματικές λύσεις (μόνο μιγαδικές).

Αν $x_1$ και $x_2$ είναι οι ρίζες της εξίσωσης, τότε ισχύουν οι τύποι του Vieta:

$$S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$

$$P = x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$

Λυμένα Παραδείγματα

Παράδειγμα 1

Λύστε: $x^2-5x+6=0$.

Λύση: $\Delta = 25-24 = 1$. Άρα $x = \frac{5 \pm 1}{2} \Rightarrow x_1 = 3,\ x_2 = 2$.

Παράδειγμα 2

Λύστε: $2x^2-4x-6=0$.

Λύση: $\Delta = 16 + 48 = 64$. Άρα $x = \frac{4 \pm 8}{4} \Rightarrow x_1 = 3,\ x_2 = -1$.

Παράδειγμα 3

Λύστε: $x^2 + 4x + 4 = 0$.

Λύση: $\Delta = 16-16 = 0$. Άρα $x = \frac{-4}{2} = -2$ (διπλή ρίζα).

Παράδειγμα 4

Λύστε: $3x^2-12x+9 = 0$.

Λύση: $\Delta = 144-108 = 36$. Άρα $x = \frac{12 \pm 6}{6} \Rightarrow x_1 = 3,\ x_2 = 1$.

Παράδειγμα 5

Λύστε: $x^2-x-12 = 0$.

Λύση: $\Delta = 1 + 48 = 49$. Άρα $x = \frac{1 \pm 7}{2} \Rightarrow x_1 = 4,\ x_2 = -3$.

Παράδειγμα 6

Λύστε: $5x^2 + 3x-2 = 0$.

Λύση: $\Delta = 9 + 40 = 49$. Άρα $x = \frac{-3 \pm 7}{10} \Rightarrow x_1 = \frac{2}{5},\ x_2 = -1$.

Παράδειγμα 7

Λύστε: $x^2-4x + 5 = 0$.

Λύση: $\Delta = 16-20 = -4$ (καμία πραγματική λύση).

Παράδειγμα 8

Λύστε: $4x^2-4x + 1 = 0$.

Λύση: $\Delta = 16-16 = 0$. Άρα $x = \frac{4}{8} = 0.5$ (διπλή ρίζα).

Παράδειγμα 9

Λύστε: $x^2-7x + 12 = 0$.

Λύση: $\Delta = 49-48 = 1$. Άρα $x = \frac{7 \pm 1}{2} \Rightarrow x_1 = 4,\ x_2 = 3$.

Παράδειγμα 10

Λύστε: $2x^2 + 5x + 2 = 0$.

Λύση: $\Delta = 25-16 = 9$. Άρα $x = \frac{-5 \pm 3}{4} \Rightarrow x_1 = -0.5,\ x_2 = -2$.

Λυμένες Ασκήσεις

Άσκηση 1 – Εμβαδόν Ορθογωνίου

Το εμβαδόν ορθογωνίου είναι $60\ \text{m}^2$ και η περίμετρος $38\ \text{m}$. Αν $x$ και $y$ οι πλευρές, λύστε το σύστημα για να βρείτε τις διαστάσεις.

Λύση: $xy = 60$, $2x + 2y = 38 \Rightarrow x + y = 19$.

Από $y = 19-x$ έχουμε: $$x(19-x) = 60 \Rightarrow -x^2 + 19x-60 = 0 \Rightarrow x^2-19x + 60 = 0$$

Λύνοντας: $\Delta = 361-240 = 121$, $x = \frac{19 \pm 11}{2} \Rightarrow x = 15$ ή $x = 4$. Άρα $(x, y) = (15, 4)$ ή $(4, 15)$.

Άσκηση 2 – Ορθογώνιο Τρίγωνο

Σε ορθογώνιο τρίγωνο, η υποτείνουσα είναι $10\ \text{cm}$ και η μία κάθετη πλευρά $x$ είναι κατά $2\ \text{cm}$ μεγαλύτερη από την άλλη. Βρείτε τις πλευρές.

Λύση: Άλλη κάθετη $= x-2$. Από Πυθαγόρειο: $x^2 + (x-2)^2 = 100 \Rightarrow 2x^2-4x + 4 = 100 \Rightarrow 2x^2-4x-96 = 0 \Rightarrow x^2-2x-48 = 0$. $\Delta = 4 + 192 = 196$, $x = \frac{2 \pm 14}{2} \Rightarrow x = 8$ ή $x = -6$ (απορρίπτεται). Άρα πλευρές: $8\ \text{cm}$ και $6\ \text{cm}$.

Άσκηση 3 – Σχήμα με Τετράγωνο και Ορθογώνιο

Ένα τετράγωνο έχει πλευρά $x$. Στο τετράγωνο προστίθεται ορθογώνιο πλάτους $3$ και μήκους ίσο με την πλευρά του τετραγώνου. Αν το συνολικό εμβαδόν είναι $130$, βρείτε το $x$.

Λύση: Εμβαδόν τετραγώνου: $x^2$, εμβαδόν ορθογωνίου: $3x$. Άρα $x^2 + 3x = 130 \Rightarrow x^2 + 3x-130 = 0$. $\Delta = 9 + 520 = 529$, $x = \frac{-3 \pm 23}{2} \Rightarrow x = 10$ (θετική λύση).

Άσκηση 4 – Αντίστροφες Ταχύτητες

Η διαφορά τετραγώνων δύο διαδοχικών ακέραιων είναι $45$. Βρείτε τους αριθμούς.

Λύση: Αν $n$ και $n+1$, τότε $(n+1)^2-n^2 = 2n + 1 = 45 \Rightarrow 2n = 44 \Rightarrow n = 22$. Άρα $22$ και $23$.

Άσκηση 5 – Πρόβλημα Εμβαδού

Ορθογώνιο έχει περίμετρο $30\ \text{cm}$ και εμβαδόν $50\ \text{cm}^2$. Βρείτε τις διαστάσεις.

Λύση: $x + y = 15$, $xy = 50$.

Από $y = 15-x$: $$x(15-x) = 50 \Rightarrow -x^2 + 15x-50 = 0 \Rightarrow x^2-15x + 50 = 0$$

$$\Delta = 225-200 = 25$$

$x = \frac{15 \pm 5}{2} \Rightarrow x = 10,\ y = 5$ ή αντίστροφα.

Άσκηση 6 – Άθροισμα και Γινόμενο

Δύο αριθμοί έχουν άθροισμα $S = 8$ και γινόμενο $P = 15$. Βρείτε τους αριθμούς.

Λύση: $$x^2-8x + 15 = 0$$

$$\Delta = 64-60 = 4$$

$x = \frac{8 \pm 2}{2} \Rightarrow x = 5$ ή $x = 3$.

Άσκηση 7 – Πρόβλημα Φυσικής

Ένα σώμα εκτοξεύεται κατακόρυφα με ταχύτητα $20\ \text{m/s}$. Η εξίσωση ύψους είναι $h(t) = -5t^2 + 20t$. Βρείτε πότε το ύψος είναι $15\ \text{m}$.

Λύση: $$-5t^2 + 20t = 15 \Rightarrow -5t^2 + 20t-15 = 0 \Rightarrow t^2-4t + 3 = 0$$

$$\Delta = 16-12 = 4$$

$t = \frac{4 \pm 2}{2} \Rightarrow t = 1$ ή $t = 3$ δευτερόλεπτα.