Τα προβλήματα ηλικιών βασίζονται σε σχέσεις μεταξύ ηλικιών διαφορετικών ατόμων σε παρελθόν, παρόν ή μέλλον.
Η βασική τεχνική είναι να θέσουμε μία ή περισσότερες αγνώστους για τις ηλικίες και να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες του προβλήματος για να φτιάξουμε εξισώσεις.
Αν η ηλικία ενός ατόμου είναι $x$ σήμερα, τότε πριν $n$ χρόνια ήταν $x-n$ και μετά από $n$ χρόνια θα είναι $x+n$.
Οι διαφορές ηλικιών παραμένουν σταθερές στο χρόνο.

Λυμένα παραδείγματα

1. Δύο άτομα έχουν άθροισμα ηλικιών 52 και διαφορά 8. Βρες τις ηλικίες.
   Θέτω $x$ ο μεγαλύτερος, $y$ ο μικρότερος. Έχουμε $x+y=52$, $x-y=8$.
   Προσθέτω: $2x=60 \Rightarrow x=30$. Τότε $y=52-30=22$.

2. ---

   Το άθροισμα δύο ηλικιών είναι 58. Σε 6 χρόνια ο λόγος τους θα είναι $3:2$. Βρες τις ηλικίες.
   Θέτω $x,y$ τώρα. $x+y=58$ και $2(x+6)=3(y+6) \Rightarrow 2x-3y=6$.
   Αντικατάσταση $x=58-y$: $2(58-y)-3y=6 \Rightarrow 116-5y=6 \Rightarrow y=22$, $x=36$.

3. ---

   Πριν 10 χρόνια ο πατέρας ήταν τετραπλάσιος του γιου. Σήμερα η διαφορά τους είναι 24. Βρες τις ηλικίες.
   Τώρα $p,g$ με $p-g=24$. Πριν 10: $p-10=4(g-10) \Rightarrow p=4g-30$.
   Από $p-g=24$ και $p=4g-30$ προκύπτει $4g-30-g=24 \Rightarrow 3g=54 \Rightarrow g=18$, $p=42$.

4. ---

   Η μητέρα είναι 18 χρόνια μεγαλύτερη από την κόρη. Σε 12 χρόνια θα είναι διπλάσια. Βρες τις ηλικίες.
   Τώρα κόρη $x$, μητέρα $x+18$. Σε 12: $x+18+12=2(x+12) \Rightarrow x+30=2x+24 \Rightarrow x=6$, μητέρα $24$.

5. ---

   Σε 5 χρόνια ο Άλεξ θα είναι τα $\frac{3}{5}$ της ηλικίας της Μάγιας. Πριν 5 χρόνια ο Άλεξ ήταν το $\frac{1}{2}$ της Μάγιας. Βρες τις ηλικίες τώρα.
   $A+5=\frac{3}{5}(M+5)$ και $A-5=\frac{1}{2}(M-5)$.
   Λύση του συστήματος δίνει $A=25$, $M=45$.

6. ---

   Δύο αδέλφια έχουν σήμερα άθροισμα 44. Σε 10 χρόνια ο λόγος τους θα είναι $7:9$. Βρες τις ηλικίες.
   $x+y=44$, $9(x+10)=7(y+10) \Rightarrow 9x-7y=-20$.
   Με $x=44-y$: $9(44-y)-7y=-20 \Rightarrow 396-16y=-20 \Rightarrow y=26$, $x=18$.

7. ---

   Τρία άτομα: ο Α είναι διπλάσιος του Β και ο Γ είναι 5 χρόνια μεγαλύτερος από τον Β. Σε 4 χρόνια ο μέσος όρος τους θα είναι 31. Βρες τις ηλικίες.
   Βάζω $B=b$, $A=2b$, $Γ=b+5$. Σε 4 χρόνια: σύνολο $= (2b+4)+(b+4)+(b+9)=4b+17=3\cdot 31=93$.
   Άρα $4b=76 \Rightarrow b=19$. Επομένως $A=38$, $Γ=24$.

8. ---

   Πριν 10 χρόνια ο πατέρας ήταν τριπλάσιος του γιου. Σε 10 χρόνια θα είναι διπλάσιος. Βρες τις ηλικίες.
   $p-10=3(g-10) \Rightarrow p=3g-20$. Επίσης $p+10=2(g+10)$.
   Αντικατάσταση: $3g-20+10=2g+20 \Rightarrow g=30$, $p=70$.

9. ---

   Η διαφορά δύο ηλικιών είναι 16. Σε 4 χρόνια το άθροισμά τους θα είναι 80. Βρες τις ηλικίες.
   $x-y=16$, $(x+4)+(y+4)=80 \Rightarrow x+y=72$.
   Πρόσθεση: $2x=88 \Rightarrow x=44$, $y=28$.

10. ---

    Η Άννα είναι σήμερα τα $\frac{3}{4}$ της ηλικίας της Μαρίας. Σε 8 χρόνια θα είναι τα $\frac{5}{6}$. Βρες τις ηλικίες.
    $A=\frac{3}{4}M$, $A+8=\frac{5}{6}(M+8)$.
    Πολλαπλασιάζω επί $12$: $9M+96=10M+80 \Rightarrow M=16$, $A=12$.

11. ---

    Πριν 5 χρόνια το άθροισμα δύο ηλικιών ήταν 34. Σε 5 χρόνια η διαφορά τους θα είναι 6. Βρες τις ηλικίες τώρα.
    $(x-5)+(y-5)=34 \Rightarrow x+y=44$. Επίσης $|x-y|=6$.
    Παίρνω $x\ge y$: $x-y=6$. Άρα $2x=50 \Rightarrow x=25$, $y=19$.

12. ---

    Σήμερα ο πατέρας είναι τετραπλάσιος του γιου. Σε 15 χρόνια θα είναι «διπλάσιος συν 15». Βρες τις ηλικίες.
    $p=4g$, $p+15=2(g+15)+15$. Άρα $4g+15=2g+45 \Rightarrow 2g=30 \Rightarrow g=15$, $p=60$.

13. ---

    Τρία αδέλφια έχουν διαδοχικές ηλικίες και άθροισμα 45. Βρες τις ηλικίες.
    Θέτω $a,a+1,a+2$. Τότε $3a+3=45 \Rightarrow 3a=42 \Rightarrow a=14$.
    Άρα $14,15,16$.

14. ---

    Πριν 3 χρόνια ο λόγος δύο ηλικιών ήταν $5:3$. Σήμερα το άθροισμα είναι 54. Βρες τις ηλικίες.
    $3(x-3)=5(y-3) \Rightarrow 3x-5y=-6$, και $x+y=54$.
    Με $x=54-y$: $3(54-y)-5y=-6 \Rightarrow 162-8y=-6 \Rightarrow y=21$, $x=33$.

15. ---

    Σε 4 χρόνια ο Α θα είναι τριπλάσιος του Β, ενώ πριν 8 χρόνια ο Α ήταν πενταπλάσιος του Β. Βρες τις ηλικίες.
    $a+4=3(b+4) \Rightarrow a=3b+8$. Επίσης $a-8=5(b-8) \Rightarrow a=5b-32$.
    Ισοδυναμία: $3b+8=5b-32 \Rightarrow 2b=40 \Rightarrow b=20$, $a=68$.