Το Πυθαγόρειο Θεώρημα είναι μία από τις σημαντικότερες προτάσεις της Γεωμετρίας και αναφέρεται στα ορθογώνια τρίγωνα. Διατυπώνεται ως εξής:

Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών.

Αν συμβολίσουμε με $a$ και $b$ τις κάθετες πλευρές και με $c$ την υποτείνουσα, τότε:
$$c^2 = a^2 + b^2$$
Αντίστροφο: Αν σε ένα τρίγωνο ισχύει $c^2 = a^2 + b^2$, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα $c$.

Λυμένα Παραδείγματα

Παράδειγμα 1

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές $a = 3$, $b = 4$. Βρείτε την υποτείνουσα.
Λύση: $c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \Rightarrow c = 5$.

Παράδειγμα 2

$a = 5$, $b = 12$. Βρείτε $c$.
Λύση: $c^2 = 25 + 144 = 169 \Rightarrow c = 13$.

Παράδειγμα 3

$a = 8$, $b = 15$. Βρείτε $c$.
Λύση: $c^2 = 64 + 225 = 289 \Rightarrow c = 17$.

Παράδειγμα 4

$a = 7$, $b = 24$. Βρείτε $c$.
Λύση: $c^2 = 49 + 576 = 625 \Rightarrow c = 25$.

Παράδειγμα 5

$a = 9$, $b = 12$. Βρείτε $c$.
Λύση: $c^2 = 81 + 144 = 225 \Rightarrow c = 15$.

Παράδειγμα 6

$a = 10$, $b = 24$. Βρείτε $c$.

Λύση: $c^2 = 100 + 576 = 676 \Rightarrow c = 26$.

Παράδειγμα 7

$a = 6$, $b = 8$. Βρείτε $c$.

Λύση: $c^2 = 36 + 64 = 100 \Rightarrow c = 10$.

Παράδειγμα 8

$a = 20$, $b = 21$. Βρείτε $c$.

Λύση: $c^2 = 400 + 441 = 841 \Rightarrow c = 29$.

Παράδειγμα 9

$a = 11$, $b = 60$. Βρείτε $c$.

Λύση: $c^2 = 121 + 3600 = 3721 \Rightarrow c = 61$.

Παράδειγμα 10

$a = 16$, $b = 63$. Βρείτε $c$.

Λύση: $c^2 = 256 + 3969 = 4225 \Rightarrow c = 65$.

Λυμένες Ασκήσεις

Άσκηση 1 – Ύψος Δέντρου

Σκιά δέντρου έχει μήκος $12\ \text{m}$ και η απόσταση από την κορυφή του δέντρου μέχρι το άκρο της σκιάς είναι $13\ \text{m}$. Βρείτε το ύψος του δέντρου.

Λύση: Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα $13$ και μία κάθετη πλευρά $12$. Άρα: $h^2 = 13^2 – 12^2 = 169 – 144 = 25 \Rightarrow h = 5\ \text{m}$.

Άσκηση 2 – Απόσταση Δύο Σημείων

Στο επίπεδο, σημείο $A(2, 3)$ και σημείο $B(8, 7)$. Βρείτε την απόσταση $AB$.

Λύση: $AB = \sqrt{(8-2)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$.

Άσκηση 3 – Σκάλα σε Τοίχο

Μία σκάλα μήκους $10\ \text{m}$ ακουμπά σε τοίχο. Η βάση της απέχει $6\ \text{m}$ από τον τοίχο. Σε ποιο ύψος φτάνει;

Λύση: $h^2 = 10^2 – 6^2 = 100 – 36 = 64 \Rightarrow h = 8\ \text{m}$.

Άσκηση 4 – Διάγνωση Ορθογωνιότητας

Τρίγωνο με πλευρές $6$, $8$, $10$. Είναι ορθογώνιο;

Λύση: $10^2 = 100$, $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$. Άρα είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα $10$.

Άσκηση 5 – Διάγωνος Ορθογωνίου

Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει πλευρές $9\ \text{cm}$ και $12\ \text{cm}$. Βρείτε το μήκος της διαγωνίου.

Λύση: $d^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 \Rightarrow d = 15\ \text{cm}$.

Άσκηση 6 – Κεκλιμένο Επίπεδο

Σε κεκλιμένο επίπεδο, η κατακόρυφη ανύψωση είναι $1.2\ \text{m}$ και η βάση $4\ \text{m}$. Βρείτε το μήκος του επιπέδου.

Λύση: $l^2 = 1.2^2 + 4^2 = 1.44 + 16 = 17.44 \Rightarrow l = \sqrt{17.44} \approx 4.176\ \text{m}$.

Άσκηση 7 – Διάγνωση Μη Ορθογωνιότητας

Τρίγωνο με πλευρές $7$, $10$, $12$. Είναι ορθογώνιο;

Λύση: $12^2 = 144$, $7^2 + 10^2 = 49 + 100 = 149 \neq 144$. Άρα δεν είναι ορθογώνιο.

Άσκηση 8 – Απόσταση Διαγωνίως

Ορθογώνια αίθουσα έχει μήκος $20\ \text{m}$ και πλάτος $15\ \text{m}$. Βρείτε την απόσταση ανάμεσα σε δύο αντίθετες γωνίες της.

Λύση: $d^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625 \Rightarrow d = 25\ \text{m}$.

Άσκηση 9 – Απόσταση Δύο Πόλεων

Πόλη $B$ είναι $30\ \text{km}$ ανατολικά και $40\ \text{km}$ βόρεια από πόλη $A$. Βρείτε την ευθεία απόσταση $AB$.

Λύση: $AB^2 = 30^2 + 40^2 = 900 + 1600 = 2500 \Rightarrow AB = 50\ \text{km}$.

Άσκηση 10 – Απόσταση σε Κεκλιμένο Δρόμο

Δρόμος έχει κλίση που ανυψώνει όχημα κατά $9\ \text{m}$ κατακόρυφα, ενώ η οριζόντια προβολή είναι $40\ \text{m}$. Βρείτε το πραγματικό μήκος του δρόμου.

Λύση: $l^2 = 9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681 \Rightarrow l = 41\ \text{m}$.