Ο μέσος όρος ενός συνόλου αριθμών υπολογίζεται διαιρώντας το άθροισμα των αριθμών με το πλήθος τους.
Αν οι αριθμοί είναι $x_1, x_2, \dots, x_n$, τότε ο μέσος όρος είναι:

$ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} $.

Αν γνωρίζουμε τον μέσο όρο και το πλήθος, μπορούμε να βρούμε το συνολικό άθροισμα:

$ \text{άθροισμα} = \text{μέσος όρος} \times \text{πλήθος} $.

Όταν προσθέτουμε ή αφαιρούμε στοιχεία από το σύνολο, ο νέος μέσος όρος υπολογίζεται από το νέο άθροισμα και το νέο πλήθος.

Για προβλήματα με μέσο όρο ταχυτήτων, όταν η απόσταση είναι ίδια, χρησιμοποιείται ο αρμονικός μέσος:

$ \bar{v} = \frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2} $.

Λυμένα παραδείγματα

1. Οι αριθμοί 5, 7, 9 έχουν μέσο όρο $ \frac{5+7+9}{3} = \frac{21}{3} = 7 $.

2. ---

   Οι αριθμοί 10, 12, 15, 13, 20 έχουν μέσο όρο $ \frac{10+12+15+13+20}{5} = \frac{70}{5} = 14 $.

3. ---

   Ο μέσος όρος 8 αριθμών είναι 15. Το άθροισμά τους είναι $ 15 \times 8 = 120 $.

4. ---

   Ο μέσος όρος 6 αριθμών είναι 20. Αν προσθέσουμε τον αριθμό 26, ο νέος μέσος όρος είναι:
   Νέο άθροισμα: $ 20 \times 6 + 26 = 120 + 26 = 146 $.
   Νέο πλήθος: 7.
   Νέος μέσος όρος: $ \frac{146}{7} \approx 20,86 $.

5. ---

   Ο μέσος όρος 5 αριθμών είναι 18. Αν αφαιρέσουμε έναν αριθμό 20, ο νέος μέσος όρος είναι:
   Αρχικό άθροισμα: $ 5 \times 18 = 90 $.
   Μετά την αφαίρεση: $ 90 – 20 = 70 $.
   Νέο πλήθος: 4.
   Νέος μέσος όρος: $ \frac{70}{4} = 17,5 $.

6. ---

   Οι μέσοι όροι τριών ομάδων είναι: 1η ομάδα 10 άτομα με μέσο 12, 2η ομάδα 15 άτομα με μέσο 14, 3η ομάδα 5 άτομα με μέσο 16. Ο συνολικός μέσος όρος είναι:
   Άθροισμα: $ 10 \cdot 12 + 15 \cdot 14 + 5 \cdot 16 = 120 + 210 + 80 = 410 $.
   Σύνολο ατόμων: $ 10 + 15 + 5 = 30 $.
   Μέσος όρος: $ \frac{410}{30} \approx 13,67 $.

7. ---

   Δύο τμήματα έχουν μέσο όρο ηλικίας 20 και 25 αντίστοιχα. Το πρώτο έχει 30 μαθητές, το δεύτερο 20. Ο συνολικός μέσος όρος είναι:
   Άθροισμα: $ 30 \cdot 20 + 20 \cdot 25 = 600 + 500 = 1100 $.
   Σύνολο: 50 μαθητές.
   Μέσος όρος: $ \frac{1100}{50} = 22 $.

8. ---

   Ένα αυτοκίνητο πηγαίνει από Α σε Β με 60 km/h και επιστρέφει με 40 km/h. Η μέση ταχύτητα είναι:
   $ \bar{v} = \frac{2 \cdot 60 \cdot 40}{60 + 40} = \frac{4800}{100} = 48 $ km/h.

9. ---

   Ο μέσος όρος τεσσάρων αριθμών είναι 25. Αν οι τρεις από αυτούς είναι 20, 30 και 26, ο τέταρτος είναι:
   Αρχικό άθροισμα: $ 4 \cdot 25 = 100 $.
   Άθροισμα των τριών: $ 20 + 30 + 26 = 76 $.
   Τέταρτος: $ 100 – 76 = 24 $.

10. ---

    Ο μέσος όρος 5 αριθμών είναι 30. Αν ένας αριθμός αυξηθεί κατά 5, ο νέος μέσος όρος αυξάνεται κατά $ \frac{5}{5} = 1 $.

11. ---

    Ο μέσος όρος ηλικίας 4 ατόμων είναι 35. Όταν προστέθηκε ακόμη ένας, ο μέσος όρος έγινε 34. Η ηλικία του νέου ατόμου είναι:
    Αρχικό άθροισμα: $ 4 \cdot 35 = 140 $.
    Νέο άθροισμα: $ 5 \cdot 34 = 170 $.
    Ηλικία νέου: $ 170 – 140 = 30 $.

12. ---

    Ο μέσος όρος 12 αριθμών είναι 18. Αν αφαιρέσουμε δύο αριθμούς με μέσο 20, ο μέσος όρος των υπολοίπων είναι:
    Αρχικό άθροισμα: $ 12 \cdot 18 = 216 $.
    Άθροισμα των δύο: $ 2 \cdot 20 = 40 $.
    Υπόλοιπο: $ 216 – 40 = 176 $.
    Πλήθος: 10.
    Μέσος: $ \frac{176}{10} = 17,6 $.

13. ---

    Ένα λεωφορείο καλύπτει τρία ίσα τμήματα με ταχύτητες 30, 40 και 60 km/h. Η μέση ταχύτητα είναι:
    $ \bar{v} = \frac{3}{\frac{1}{30} + \frac{1}{40} + \frac{1}{60}} $.
    Υπολογισμός: $ \frac{1}{30} + \frac{1}{40} + \frac{1}{60} = \frac{4 + 3 + 2}{120} = \frac{9}{120} = \frac{3}{40} $.
    Άρα $ \bar{v} = \frac{3}{\frac{3}{40}} = 40 $ km/h.

14. ---

    Ο μέσος όρος 5 αριθμών είναι 50 και ο μέσος όρος άλλων 3 είναι 70. Ο μέσος όρος όλων είναι:
    Άθροισμα: $ 5 \cdot 50 + 3 \cdot 70 = 250 + 210 = 460 $.
    Σύνολο: 8.
    Μέσος: $ \frac{460}{8} = 57,5 $.

15. ---

    Ο μέσος όρος τεσσάρων αριθμών είναι 32. Αν ο ένας αυξηθεί κατά 8, ο νέος μέσος όρος είναι:
    Αύξηση αθροίσματος: +8. Νέος μέσος: $ 32 + \frac{8}{4} = 32 + 2 = 34 $.