Βήμα 1: Χρήση της συνθήκης $f(1) = 10$

Αντικαθιστούμε $x = 1$ στην εξίσωση:

$f(1) = 5(1)^{4} - 2\alpha (1)^{2} + \alpha + \beta = 10$

$5 - 2\alpha + \alpha + \beta = 10$

$5 - \alpha + \beta = 10$

$-\alpha + \beta = 5$

Άρα:

$\beta = \alpha + 5$

Βήμα 2: Υπολογισμός του $f(-1)$

Αντικαθιστούμε $x = -1$:

$f(-1) = 5(-1)^{4} - 2\alpha (-1)^{2} + \alpha + \beta$

$f(-1) = 5 - 2\alpha + \alpha + \beta$

$f(-1) = 5 - \alpha + \beta$

Βήμα 3: Χρήση της σχέσης από το Βήμα 1

Από το Βήμα 1 έχουμε $5 - \alpha + \beta = 10$, άρα:

$f(-1) = 10$

Βήμα 4: Επαλήθευση

Η συνθήκη $f(1) = 10$ δίνει τη σχέση $5 - \alpha + \beta = 10$ που είναι ακριβώς η μορφή του $f(-1)$, άρα το αποτέλεσμα είναι ανεξάρτητο από τις τιμές των $\alpha$, $\beta$ και ίσο με 10.

Τελική απάντηση

$\boxed{Β: 10}$

Θεωρία

Συμμετρία πολυωνύμων

Αν ένα πολυώνυμο περιέχει μόνο άρτιες δυνάμεις του $x$, τότε $f(1) = f(-1)$. Στην παρούσα συνάρτηση οι δυνάμεις είναι $x^4$ και $x^2$, που είναι άρτιες, καθώς και σταθεροί όροι, επομένως η συνάρτηση είναι άρτια: $f(-x) = f(x)$. Αυτό εξηγεί γιατί η τιμή $f(-1)$ είναι ίση με $f(1)$ ανεξάρτητα από τις παραμέτρους $\alpha$ και $\beta$.