Βήμα 1: Εύρεση σημείων τομής με τους άξονες

Η εξίσωση της ράγας είναι:

$7x + 14y = 210$

Για το σημείο $A$ (τομή με τον άξονα $x$), θέτουμε $y = 0$:

$7x + 14(0) = 210 \quad \Rightarrow \quad 7x = 210 \quad \Rightarrow \quad x = 30$

Άρα $A(30, 0)$.

Για το σημείο $B$ (τομή με τον άξονα $y$), θέτουμε $x = 0$:

$7(0) + 14y = 210 \quad \Rightarrow \quad 14y = 210 \quad \Rightarrow \quad y = 15$

Άρα $B(0, 15)$.

Βήμα 2: Υπολογισμός εμβαδού τριγώνου $ΟΑΒ$

Τα σημεία είναι: $O(0,0)$, $A(30,0)$ και $B(0,15)$.

Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με κάθετες πλευρές:

$OA = 30$, $OB = 15$

Εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου:

$E = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 15 = 225$

Βήμα 3: Επαλήθευση

Με τη γνωστή σχέση:

$E = \frac{1}{2} \cdot \text{βάση} \cdot \text{ύψος}$

Βάση $= 30$, ύψος $= 15$, οπότε:

$E = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 15 = 225$

Η τιμή συμφωνεί, άρα είναι σωστή.

Τελική απάντηση

$225$ (Ε)

Θεωρία

1. Εύρεση τομών με τους άξονες: Σε μια γραμμική εξίσωση $ax + by = c$, για τομή με τον $x$-άξονα θέτουμε $y=0$, ενώ για τομή με τον $y$-άξονα θέτουμε $x=0$.

2. Εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου: Αν γνωρίζουμε τις κάθετες πλευρές $a$ και $b$, τότε το εμβαδόν είναι $E = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$.

3. Ερμηνεία συντεταγμένων: Οι αποστάσεις στον άξονα $x$ και $y$ αντιστοιχούν σε μήκη κάθετων πλευρών όταν το τρίγωνο έχει κορυφή την αρχή των αξόνων.