iStudyMaths
02-Αναλογίες
Κυβερνητικές Εξετάσεις / 01: Θεωρία Κυβερνητικών Εξετάσεων /
Τα ανάλογα ποσά είναι δύο ή περισσότερα μεγέθη που μεταβάλλονται με τον ίδιο τρόπο. Αν αυξηθεί το ένα, αυξάνεται και το άλλο στην ίδια αναλογία. Το πηλίκο τους παραμένει σταθερό. Δηλαδή για δύο ποσά $x$ και $y$ ισχύει $ \frac{x}{y} = k $ όπου $k$ είναι σταθερά.
Παράδειγμα: Αν 5 κιλά μήλα κοστίζουν 10 €, τότε το κόστος είναι ανάλογο του βάρους, αφού $ \frac{10}{5} = 2 $ €/κιλό για κάθε ποσότητα.
Αντιστρόφως ανάλογα ποσά είναι δύο μεγέθη που μεταβάλλονται αντίστροφα. Αν αυξηθεί το ένα, το άλλο μειώνεται έτσι ώστε το γινόμενό τους να παραμένει σταθερό. Δηλαδή $ x \cdot y = k $ όπου $k$ είναι σταθερά.
Παράδειγμα: Αν 4 εργάτες τελειώνουν μια δουλειά σε 12 ημέρες, τότε ο αριθμός των ημερών είναι αντιστρόφως ανάλογος του αριθμού των εργατών, αφού $4 \cdot 12 = 48$ εργάτες·ημέρες.
Λυμένα παραδείγματα
- Ένα αυτοκίνητο διανύει 120 km με 8 λίτρα βενζίνης. Πόσα λίτρα χρειάζεται για 180 km;
Το πρόβλημα είναι ανάλογο, γιατί όσο περισσότερα χιλιόμετρα, τόσα περισσότερα λίτρα.
$ \frac{8}{120} = \frac{x}{180} $
$ 120x = 8 \cdot 180 $
$ x = 12 $ λίτρα. -
Μία μηχανή παράγει 150 κομμάτια σε 5 ώρες. Πόσα κομμάτια θα παράγει σε 8 ώρες;
$ \frac{150}{5} = \frac{x}{8} $
$ 5x = 150 \cdot 8 $
$ x = 240 $ κομμάτια. -
5 κιλά μήλα κοστίζουν 7,5 €. Πόσο κοστίζουν 8 κιλά;
$ \frac{7,5}{5} = \frac{x}{8} $
$ 5x = 7,5 \cdot 8 $
$ x = 12 $ €. -
3 εργάτες τελειώνουν μια εργασία σε 20 μέρες. Σε πόσες μέρες θα την τελειώσουν 5 εργάτες;
Αντιστρόφως ανάλογα:
$ 3 \cdot 20 = 5 \cdot x $
$ 60 = 5x $
$ x = 12 $ μέρες. -
8 εργάτες τελειώνουν μια δουλειά σε 15 ημέρες. Αν θέλουμε να την τελειώσουμε σε 10 ημέρες, πόσοι εργάτες χρειάζονται;
$ 8 \cdot 15 = x \cdot 10 $
$ 120 = 10x $
$ x = 12 $ εργάτες. -
Ένα τυπογραφείο τυπώνει 5000 σελίδες σε 4 ώρες. Αν θέλουμε να τυπώσουμε 8000 σελίδες, πόσες ώρες θα χρειαστούν;
Ανάλογα:
$ \frac{5000}{4} = \frac{8000}{x} $
$ 5000x = 4 \cdot 8000 $
$ x = 6,4 $ ώρες. -
Ένα βυτίο αδειάζει μια δεξαμενή σε 3 ώρες. Αν δουλεύουν 2 ίδια βυτία μαζί, σε πόσες ώρες θα αδειάσει η δεξαμενή;
Αντιστρόφως ανάλογα:
$ 1 \cdot 3 = 2 \cdot x $
$ 3 = 2x $
$ x = 1,5 $ ώρες. -
Ένα συνεργείο 6 ατόμων στρώνει 120 m² πλακάκια σε 5 ώρες. Πόσα m² θα στρώσει σε 8 ώρες;
Ανάλογα:
$ \frac{120}{5} = \frac{x}{8} $
$ 5x = 120 \cdot 8 $
$ x = 192 $ m². -
4 μηχανές τυπώνουν 2000 σελίδες σε 6 ώρες. Σε πόσες ώρες 5 μηχανές θα τυπώσουν 5000 σελίδες;
Πρώτα βρίσκουμε ρυθμό μιας μηχανής: 2000 σελίδες σε 6 ώρες με 4 μηχανές σημαίνει μία μηχανή τυπώνει $ \frac{2000}{4} = 500 $ σελίδες σε 6 ώρες, άρα $ \frac{500}{6} $ σελίδες ανά ώρα.
Με 5 μηχανές, 5000 σελίδες χρειάζονται
$ \frac{5000}{5 \cdot \frac{500}{6}} = \frac{5000}{\frac{2500}{6}} = \frac{5000 \cdot 6}{2500} = 12 $ ώρες. -
Ένα τρένο κινείται με σταθερή ταχύτητα και διανύει 240 km σε 3 ώρες. Πόσο χρόνο θα κάνει για 400 km;
Ανάλογα:
$ \frac{240}{3} = \frac{400}{x} $
$ 240x = 1200 $
$ x = 5 $ ώρες.
Λυμένες Ασκήσεις
- Ένα συνεργείο επισκευάζει $ \frac{3}{4} $ του δρόμου σε 6 ημέρες. Σε πόσες ημέρες θα επισκευάσει ολόκληρο τον δρόμο, δουλεύοντας με τον ίδιο ρυθμό;
Ανάλογα: $ \frac{\frac{3}{4}}{6} = \frac{1}{x} $
$ \frac{3}{4} \cdot x = 6 $
$ x = 6 \cdot \frac{4}{3} = 8 $ ημέρες. -
5 μηχανές εκτυπώνουν $ \frac{2}{3} $ της παραγγελίας σε 4 ώρες. Πόσες μηχανές χρειάζονται για να εκτυπώσουν όλη την παραγγελία σε 3 ώρες;
Πρώτα βρίσκουμε πόσο κάνει 1 μηχανή σε 4 ώρες: $ \frac{2}{3} $ της παραγγελίας από 5 μηχανές → 1 μηχανή κάνει $ \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{15} $ της παραγγελίας σε 4 ώρες.
Άρα σε 3 ώρες μια μηχανή κάνει $ \frac{2}{15} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{10} $ της παραγγελίας.
Για να γίνει όλη ($1$), χρειάζονται $ \frac{1}{\frac{1}{10}} = 10 $ μηχανές. -
Ένα βυτίο γεμίζει $ \frac{5}{8} $ της δεξαμενής σε 10 λεπτά. Σε πόσο χρόνο θα γεμίσει τα $ \frac{3}{4} $ της δεξαμενής;
Ανάλογα: $ \frac{\frac{5}{8}}{10} = \frac{\frac{3}{4}}{x} $
$ \frac{5}{8} \cdot x = \frac{3}{4} \cdot 10 $
$ \frac{5}{8} \cdot x = \frac{30}{4} $
$ x = \frac{30}{4} \cdot \frac{8}{5} = 12 $ λεπτά. -
6 εργάτες φτιάχνουν το $ \frac{2}{5} $ ενός τοίχου σε 4 ημέρες. Πόσοι εργάτες χρειάζονται για να φτιάξουν ολόκληρο τον τοίχο σε 5 ημέρες;
Σε 4 ημέρες, 6 εργάτες κάνουν $ \frac{2}{5} $ → Σε 5 ημέρες θα έκαναν $ \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{1}{2} $ του τοίχου.
Για να γίνει όλος σε 5 ημέρες, χρειάζονται διπλάσιοι εργάτες: $ 6 \cdot 2 = 12 $ εργάτες. -
Ένα φορτηγό μεταφέρει $ \frac{3}{7} $ της συνολικής άμμου σε 8 δρομολόγια. Πόσα δρομολόγια θα χρειαστούν για να μεταφερθεί όλη η άμμος;
Ανάλογα: $ \frac{\frac{3}{7}}{8} = \frac{1}{x} $
$ \frac{3}{7} \cdot x = 8 $
$ x = 8 \cdot \frac{7}{3} = \frac{56}{3} = 18 \frac{2}{3} $ δρομολόγια. -
4 μηχανές φτιάχνουν $ \frac{5}{6} $ της παραγωγής σε 6 ώρες. Πόσες μηχανές χρειάζονται για να κάνουν όλη την παραγωγή σε 4 ώρες;
1 μηχανή σε 6 ώρες κάνει $ \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{4} = \frac{5}{24} $.
Σε 4 ώρες κάνει $ \frac{5}{24} \cdot \frac{4}{6} = \frac{5}{36} $.
Για όλη ($1$) χρειάζονται $ \frac{1}{\frac{5}{36}} = \frac{36}{5} = 7,2 $ → 8 μηχανές. -
Ένα τρένο καλύπτει $ \frac{3}{5} $ της διαδρομής σε 2 ώρες. Πόσος χρόνος χρειάζεται για ολόκληρη τη διαδρομή;
$ \frac{\frac{3}{5}}{2} = \frac{1}{x} $
$ \frac{3}{5} \cdot x = 2 $
$ x = 2 \cdot \frac{5}{3} = \frac{10}{3} = 3 \frac{1}{3} $ ώρες. -
Μία βρύση γεμίζει το $ \frac{4}{9} $ μιας δεξαμενής σε 5 λεπτά. Αν ανοίξουμε 3 ίδιες βρύσες, σε πόσα λεπτά θα γεμίσει όλη η δεξαμενή;
Μία βρύση σε 5 λεπτά κάνει $ \frac{4}{9} $, άρα σε 1 λεπτό κάνει $ \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{5} = \frac{4}{45} $.
3 βρύσες σε 1 λεπτό κάνουν $ \frac{12}{45} = \frac{4}{15} $.
Για όλη ($1$), χρειάζονται $ \frac{1}{\frac{4}{15}} = \frac{15}{4} = 3,75 $ λεπτά. -
Μία ομάδα 8 ατόμων καταναλώνει $ \frac{3}{10} $ των προμηθειών σε 6 μέρες. Αν η ομάδα αυξηθεί σε 12 άτομα, σε πόσες μέρες θα καταναλωθούν οι ίδιες προμήθειες;
8 άτομα → $ \frac{3}{10} $ σε 6 μέρες, άρα όλο σε $ 6 \cdot \frac{10}{3} = 20 $ μέρες.
Με 12 άτομα, αντιστρόφως ανάλογα: $ 8 \cdot 20 = 12 \cdot x $
$ x = \frac{160}{12} = \frac{40}{3} = 13 \frac{1}{3} $ μέρες. -
5 εργάτες κατασκευάζουν $ \frac{7}{12} $ ενός δρόμου σε 14 μέρες. Πόσοι εργάτες χρειάζονται για να τελειώσουν τον δρόμο σε 12 μέρες;
Όλο σε μέρες με 5 εργάτες: $ 14 \cdot \frac{12}{7} = 24 $ μέρες.
Άρα $ 5 \cdot 24 = x \cdot 12 $
$ x = 10 $ εργάτες.