Η λογική κατηγορημάτων με ποσοδείκτες και πλήθη χειρίζεται προτάσεις τύπου «κάποιος», «κανείς», «μόνο ένας», «ακριβώς δύο», «τουλάχιστον/το πολύ» και «όλοι/μερικοί». Στις ασκήσεις αυτής της μορφής ζητείται να εξαχθεί συμπέρασμα που ακολουθεί αναγκαστικά από τις δοθείσες προτάσεις, χωρίς εξωτερικές υποθέσεις.

Σύμβολα της μαθηματικής λογικής με την έννοιά τους:

• $\exists$ → υπάρχει (υπαρξιακός ποσοδείκτης: «υπάρχει τουλάχιστον ένα αντικείμενο που…»)
• $\exists!$ → υπάρχει ακριβώς ένα (υπαρξιακός ποσοδείκτης με μοναδικότητα)
• $\forall$ → για κάθε / όλοι (καθολικός ποσοδείκτης)
• $x, y, z$ → μεταβλητές που αναπαριστούν άτομα/στοιχεία του συνόλου αναφοράς
• $P(x)$ → κατηγόρημα (πρόταση που εξαρτάται από $x$, π.χ. «ο $x$ έχει 5 παιδιά»)
• $\neg P(x)$ → άρνηση της πρότασης $P(x)$ («ο $x$ δεν έχει 5 παιδιά»)
• $Q \Rightarrow R$ → αν ισχύει το $Q$, τότε ισχύει και το $R$ (υπόθεση → συμπέρασμα)
• $Q \Leftrightarrow R$ → το $Q$ ισχύει αν και μόνο αν ισχύει το $R$ (ισοδυναμία)
• $=$ → ισότητα
• $\neq$ → ανισότητα (διαφορετικά στοιχεία)
• $\wedge$ (δεν φαίνεται ρητά αλλά υπονοείται με κόμμα) → και
• $\vee$ (δεν φαίνεται ρητά αλλά μπορεί να χρησιμοποιηθεί) → ή

Κρίσιμα σημεία:

1. Μετάφραση σε σύμβολα. Παράδειγμα: «μόνο ένας εργαζόμενος έχει 5 παιδιά» γράφεται $\exists!x, P_5(x)$, όπου $P_5(x)$: «ο $x$ έχει 5 παιδιά». «Κανένας άλλος» αποκλείει δεύτερο άτομο με την ίδια ιδιότητα.
2. Προσοχή στις λέξεις κλειδιά. «Κανείς» → καθολική άρνηση: $\forall x, \neg P(x)$. «Μερικοί» → υπαρξιακή: $\exists x, P(x)$. «Όλοι» → καθολική: $\forall x, P(x)$. «Μόνο αν» μεταφράζεται ως αναγκαία συνθήκη: $Q$ μόνο αν $R$ σημαίνει $Q\Rightarrow R$. «Αν και μόνο αν» σημαίνει ισοδυναμία: $Q\Leftrightarrow R$.
3. Ακριβείς ποσότητες. «Ακριβώς δύο» γράφεται: υπάρχουν $x,y$ διακριτά με $P(x),P(y)$ και για κάθε $z$ αν $P(z)$ τότε $z=x$ ή $z=y$. Αντίστοιχα για «το πολύ/τουλάχιστον $k$».
4. Αποφυγή υπερερμηνείας. Από «κάποιος έχει 5 παιδιά» δεν ακολουθεί «όλοι έχουν παιδιά». Από «κανείς δεν έχει 5» δεν προκύπτει τίποτα για 4 ή 6.
5. Προσοχή σε ποσοδείκτες με άρνηση. Η άρνηση της $\forall x, P(x)$ είναι $\exists x, \neg P(x)$· η άρνηση της $\exists x, P(x)$ είναι $\forall x, \neg P(x)$.
6. Σύζευξη και διάζευξη ποσοτικών ισχυρισμών. Αν έχουμε $\exists!x, P(x)$ και $\forall y\neq x, \neg P(y)$ μπορούμε να συναγάγουμε μοναδικότητα. Αν έχουμε $\forall x,(P(x)\Rightarrow Q(x))$ και $\exists x, P(x)$ τότε προκύπτει $\exists x, Q(x)$.
7. Διαχωρισμός συμπερασμάτων «αληθές/λάθος/απροσδιόριστο». Ένα συμπέρασμα είναι αληθές μόνο αν ισχύει σε κάθε ερμηνεία που ικανοποιεί τα δεδομένα. Αν υπάρχει έστω ένα αντιπαράδειγμα, είναι λάθος. Αν ούτε αποδεικνύεται ούτε διαψεύδεται με τα δεδομένα, είναι απροσδιόριστο.

Παράδειγμα 1
Δηλώσεις: Ένας εργαζόμενος έχει ακριβώς 5 παιδιά. Κανένας άλλος στο εργοστάσιο δεν έχει 5 παιδιά.
Συμπέρασμα: Ακριβώς ένας εργαζόμενος έχει 5 παιδιά.
Μετάφραση: $\exists!x, P_5(x)$. Η δεύτερη πρόταση δίνει μοναδικότητα.
Απάντηση: Σωστό.

Παράδειγμα 2
Δηλώσεις: Ένας εργαζόμενος έχει ακριβώς 5 παιδιά. Κανένας άλλος δεν έχει 5 παιδιά.
Συμπέρασμα: Μερικοί εργαζόμενοι έχουν περισσότερα από 5 παιδιά.
Τίποτα δεν αναφέρεται για $>5$. Μπορεί όλοι οι υπόλοιποι να έχουν $<5$.
Απάντηση: Λάθος.

Παράδειγμα 3
Δηλώσεις: Κανείς μαθητής δεν έχει απουσίες.
Συμπέρασμα: Όλοι οι μαθητές έχουν απουσίες.
Άρνηση της δεδομένης πρότασης, άρα δεν ακολουθεί.
Απάντηση: Λάθος.

Παράδειγμα 4
Δηλώσεις: Μερικοί υπάλληλοι οδηγούν ποδήλατο στη δουλειά. Όλοι όσοι οδηγούν ποδήλατο γυμνάζονται τακτικά.
Συμπέρασμα: Μερικοί υπάλληλοι γυμνάζονται τακτικά.
Κανόνας: $\exists x,P(x)$ και $\forall x,(P\Rightarrow Q)$ ⇒ $\exists x,Q(x)$.
Απάντηση: Σωστό.

Παράδειγμα 5
Δηλώσεις: Όλοι οι καθηγητές έχουν μεταπτυχιακό. Κάποιοι εργαζόμενοι έχουν μεταπτυχιακό.
Συμπέρασμα: Κάποιοι εργαζόμενοι είναι καθηγητές.
Δεν δίνεται ένταξη «εργαζόμενοι ⊇ καθηγητές». Μπορεί οι εργαζόμενοι με ΜΔΕ να είναι άλλοι.
Απάντηση: Απροσδιόριστο.

Παράδειγμα 6
Δηλώσεις: Κανένας γιατρός δεν είναι καπνιστής. Ο Πέτρος είναι γιατρός.
Συμπέρασμα: Ο Πέτρος δεν είναι καπνιστής.
Άμεση καθολική εφαρμογή.
Απάντηση: Σωστό.

Παράδειγμα 7
Δηλώσεις: Ακριβώς δύο φοιτητές πέρασαν το μάθημα.
Συμπέρασμα: Κανένας τρίτος φοιτητής δεν πέρασε.
Ορισμός «ακριβώς δύο».
Απάντηση: Σωστό.

Παράδειγμα 8
Δηλώσεις: Τουλάχιστον δύο υπάλληλοι μιλούν γαλλικά. Το πολύ δύο υπάλληλοι μιλούν γαλλικά.
Συμπέρασμα: Ακριβώς δύο υπάλληλοι μιλούν γαλλικά.
Συνδυασμός «≥2» και «≤2».
Απάντηση: Σωστό.

Παράδειγμα 9
Δηλώσεις: Κάποιος μαθητής δεν έγραψε το τεστ.
Συμπέρασμα: Δεν έγραψε κανένας το τεστ.
Άρνηση υπαρξιακής δεν συνεπάγεται καθολική άρνηση.
Απάντηση: Λάθος.

Παράδειγμα 10
Δηλώσεις: Μόνο οι προπονητές έχουν πρόσβαση στα αποδυτήρια. Ο Νίκος έχει πρόσβαση στα αποδυτήρια.
Συμπέρασμα: Ο Νίκος είναι προπονητής.
«Μόνο οι προπονητές» σημαίνει $Αποδ(x) \Rightarrow Προπ(x)$.
Απάντηση: Σωστό.

Παράδειγμα 11
Δηλώσεις: Όποιος είναι μέλος του συλλόγου πληρώνει συνδρομή. Κάποιος δεν πληρώνει συνδρομή.
Συμπέρασμα: Κάποιος δεν είναι μέλος του συλλόγου.
Αντιστροφή μέσω αντίθετου ισοδύναμου: $Πληρ(x)$ είναι αναγκαίο για $Μέλ(x)$. Υπάρχει $x$ με $\neg Πληρ(x)$, άρα ενδέχεται $\neg Μέλ(x)$; Δεν έπεται αναγκαστικά, γιατί μπορεί να είναι μέλος που παρανομεί. Το συμπέρασμα «υπάρχει μη μέλος» μπορεί να ισχύει αλλά δεν είναι αναγκαίο από τα δεδομένα.
Απάντηση: Απροσδιόριστο.

Παράδειγμα 12
Δηλώσεις: Κανένας που δεν διαβάζει δεν περνά το μάθημα. Ο Γιάννης πέρασε το μάθημα.
Συμπέρασμα: Ο Γιάννης διάβασε.
Αντίθετο ισοδύναμο: $\neg Διαβ(x) \Rightarrow \neg Περ(x)$ ισοδυναμεί με $Περ(x)\Rightarrow Διαβ(x)$.
Απάντηση: Σωστό.

Παράδειγμα 13
Δηλώσεις: Μόνο αν βρέξει θα δούμε ουράνιο τόξο. Είδαμε ουράνιο τόξο.
Συμπέρασμα: Έβρεξε.
«Μόνο αν» δίνει $Ουρ \Rightarrow Βροχή$.
Απάντηση: Σωστό.

Παράδειγμα 14
Δηλώσεις: Αν χιονίσει, τα σχολεία κλείνουν. Τα σχολεία είναι κλειστά.
Συμπέρασμα: Έχει χιονίσει.
Σφάλμα επιβεβαίωσης του αποτελέσματος· μπορεί να έκλεισαν για άλλο λόγο.
Απάντηση: Λάθος.

Παράδειγμα 15
Δηλώσεις: Ακριβώς ένας επισκέπτης έφυγε πριν τις 9. Ο Κώστας έφυγε πριν τις 9.
Συμπέρασμα: Κανείς άλλος εκτός από τον Κώστα δεν έφυγε πριν τις 9.
Από μοναδικότητα και ύπαρξη του Κώστα.
Απάντηση: Σωστό.

Παράδειγμα 16
Δηλώσεις: Μερικοί υποψήφιοι πέτυχαν. Κανένας αποτυχών δεν είχε διαβάσει.
Συμπέρασμα: Μερικοί που διάβασαν πέτυχαν.
Δεν δίνεται ότι όσοι διάβασαν είναι οι επιτυχόντες. Όμως από «κανένας αποτυχών δεν διάβασε» παίρνουμε το αντίθετο ισοδύναμο $Διαβ(x)\Rightarrow Πέτυχε(x)$. Χρειαζόμαστε ύπαρξη διαβασμένων. Δεν δόθηκε.
Απάντηση: Απροσδιόριστο.

Παράδειγμα 17
Δηλώσεις: Όλοι οι προϊστάμενοι είναι υπάλληλοι. Κάποιοι υπάλληλοι δεν είναι προϊστάμενοι.
Συμπέρασμα: Υπάρχουν υπάλληλοι που δεν είναι προϊστάμενοι.
Η δεύτερη είναι ήδη το συμπέρασμα· συμβατή με την πρώτη.
Απάντηση: Σωστό.

Παράδειγμα 18
Δηλώσεις: Κανείς στο τμήμα δεν έχει 5 παιδιά, εκτός από έναν.
Συμπέρασμα: Ακριβώς ένας έχει 5 παιδιά.
Η φράση «εκτός από έναν» σημαίνει μοναδική εξαίρεση.
Απάντηση: Σωστό.

Παράδειγμα 19
Δηλώσεις: Ο κάθε δάσκαλος διδάσκει τουλάχιστον ένα μάθημα. Η Άννα δεν διδάσκει κανένα μάθημα.
Συμπέρασμα: Η Άννα δεν είναι δασκάλα.
Από $Δασκ(x)\Rightarrow \exists μ, Διδ(x,μ)$ και $\neg \exists μ,Διδ(Αννα,μ)$, προκύπτει $\neg Δασκ(Αννα)$.
Απάντηση: Σωστό.

Παράδειγμα 20
Δηλώσεις: Κάθε φοιτητής που εργάζεται δεν λαμβάνει υποτροφία. Ο Μάριος δεν λαμβάνει υποτροφία.
Συμπέρασμα: Ο Μάριος εργάζεται.
Σφάλμα επιβεβαίωσης του αντιστρόφου· η μη υποτροφία μπορεί να οφείλεται και σε άλλο λόγο.
Απάντηση: Λάθος.

Παράδειγμα 21
Δηλώσεις: Κανείς υπάλληλος δεν έχει ακριβώς 5 παιδιά. Ένας υπάλληλος έχει 4 παιδιά.
Συμπέρασμα: Ο υπάλληλος με 4 παιδιά είναι ο μόνος με 4;
Δεν δίνεται μοναδικότητα για τα 4.
Απάντηση: Απροσδιόριστο.

Παράδειγμα 22
Δηλώσεις: Σε μια ομάδα υπάρχουν ακριβώς τρεις που μιλούν ισπανικά. Ο Νίκος και η Ελένη μιλούν ισπανικά.
Συμπέρασμα: Υπάρχει ακριβώς ένας τρίτος διαφορετικός από Νίκο και Ελένη που μιλά ισπανικά.
Από «ακριβώς τρεις» και δύο γνωστούς μιλούντες.
Απάντηση: Σωστό.

Παράδειγμα 23
Δηλώσεις: Τουλάχιστον ένας μηχανικός είναι γυναίκα. Κανένας άνδρας δεν είναι νοσηλευτής.
Συμπέρασμα: Υπάρχει γυναίκα που είναι μηχανικός και νοσηλεύτρια.
Καμία σύνδεση μηχανικού–νοσηλευτή.
Απάντηση: Λάθος.

Παράδειγμα 24
Δηλώσεις: Κάθε μέλος πληρώνει συνδρομή. Κάποιος δεν είναι μέλος.
Συμπέρασμα: Κάποιος δεν πληρώνει συνδρομή.
Μπορεί ο μη-μέλος να πληρώνει ως δωρητής· δεν επιβάλλεται άρνηση πληρωμής.
Απάντηση: Απροσδιόριστο.

Παράδειγμα 25
Δηλώσεις: Σε ένα εργοστάσιο ένας εργαζόμενος έχει 5 παιδιά. Κανένας άλλος δεν έχει 5 παιδιά.
Επιλογές:
(A) Όλοι οι εργαζόμενοι έχουν 5 παιδιά ο καθένας.
(B) Όλοι στο εργοστάσιο έχουν παιδιά.
(Γ) Μερικοί εργαζόμενοι έχουν περισσότερα από 5 παιδιά.
(Δ) Μερικοί εργαζόμενοι έχουν περισσότερα από 6 παιδιά.
(Ε) Μόνο ένας εργαζόμενος έχει ακριβώς 5 παιδιά.
Απόδοση: $\exists!x, P_5(x)$ και καμία πληροφορία για «έχει παιδιά γενικώς» ή «>5». Η μόνη αναγκαστική επιλογή είναι (Ε).
Απάντηση: (Ε).