Βήμα 1: Ορισμός μεταβλητών

Έστω ότι ο αριθμός μαθητών του Τμήματος Α είναι a και του Τμήματος Β είναι b.

Βήμα 2: Εξίσωση μέσου όρου

Ο συνολικός μέσος όρος δίνεται από τον τύπο:

$ \frac{90a + 75b}{a + b} = 81 $

Βήμα 3: Απαλοιφή παρονομαστή

Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με $(a + b)$:

$ 90a + 75b = 81(a + b) $

Βήμα 4: Ανάπτυξη και αναδιάταξη

Αναπτύσσουμε το δεύτερο μέλος:

$ 90a + 75b = 81a + 81b $

Μεταφέρουμε όρους:

$ (90a - 81a) + (75b - 81b) = 0 $

$ 9a - 6b = 0 $

Βήμα 5: Σχέση μεταξύ a και b

Από την εξίσωση:

$ 9a = 6b $

Διαιρούμε με 3:

$ 3a = 2b $

Άρα:

$ \frac{a}{b} = \frac{2}{3} $

Βήμα 6: Υπολογισμός ποσοστού Τμήματος Α

Ο συνολικός αριθμός μαθητών είναι $a + b = 2k + 3k = 5k$.

Το ποσοστό του Τμήματος Α είναι:

$ \frac{a}{a+b} = \frac{2k}{5k} = \frac{2}{5} = 40\% $

Βήμα 7: Επαλήθευση

Αν $a = 40$ και $b = 60$, τότε ο συνολικός μέσος όρος είναι:

$ \frac{90 \cdot 40 + 75 \cdot 60}{100} = \frac{3600 + 4500}{100} = \frac{8100}{100} = 81 $

Η τιμή συμφωνεί με την εκφώνηση.

Σωστή απάντηση

Β: 40%

Θεωρία

Μέσος όρος βαρών (Weighted Average)

Ο σταθμισμένος μέσος όρος δύο ομάδων με μέσους όρους $M_1$, $M_2$ και πλήθη $n_1$, $n_2$ δίνεται από τον τύπο:

$ M = \frac{M_1 n_1 + M_2 n_2}{n_1 + n_2} $

Αν γνωρίζουμε τον συνολικό μέσο όρο και τους επιμέρους, μπορούμε να βρούμε τη σχέση $n_1 / n_2$ και από εκεί το ποσοστό της κάθε ομάδας.