Λύση:
Βήμα 1: Ορισμός μεταβλητών
Έστω ότι ο βαθμός του πρώτου διαγωνίσματος είναι $x$.
Τότε, σύμφωνα με την εκφώνηση:
- 2ο διαγώνισμα: $2x$
- 3ο διαγώνισμα: $4x$
- 4ο διαγώνισμα: $8x$
Βήμα 2: Σχέση μέσου όρου
Ο μέσος όρος των τεσσάρων διαγωνισμάτων δίνεται από τον τύπο:
$ \frac{x + 2x + 4x + 8x}{4} = 7,5 $
Βήμα 3: Επίλυση της εξίσωσης
Αθροίζουμε τους όρους στον αριθμητή:
$ \frac{15x}{4} = 7,5 $
Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη επί 4:
$ 15x = 30 $
Διαιρούμε με 15:
$ x = 2 $
Βήμα 4: Επαλήθευση
Οι βαθμοί είναι: 2, 4, 8, 16.
Μέσος όρος:
$ \frac{2 + 4 + 8 + 16}{4} = \frac{30}{4} = 7,5 $
Η σχέση ικανοποιείται, άρα η λύση είναι σωστή.
Βήμα 5: Σωστή απάντηση
Η σωστή επιλογή είναι Γ: 2.
Θεωρία
Μέσος όρος
Ο μέσος όρος (ή αριθμητικός μέσος) ενός συνόλου αριθμών βρίσκεται αν προσθέσουμε όλους τους αριθμούς και διαιρέσουμε το άθροισμα με το πλήθος τους.
$ \text{Μέσος όρος} = \frac{\text{Άθροισμα όλων των τιμών}}{\text{Πλήθος τιμών}} $
Γεωμετρική πρόοδος
Αν κάθε όρος μιας ακολουθίας προκύπτει από τον προηγούμενο με πολλαπλασιασμό με έναν σταθερό αριθμό, τότε η ακολουθία λέγεται γεωμετρική πρόοδος. Εδώ, ο λόγος $q$ είναι 2.
$ \text{Γεωμετρική πρόοδος: } a, a q, a q^2, a q^3, \dots $
Στην άσκηση, χρησιμοποιήθηκε η ιδιότητα ότι οι όροι αυξάνονται με σταθερό λόγο, ώστε να εκφραστούν όλοι ως πολλαπλάσια του πρώτου όρου.