Βήμα 1: Συνολικός αριθμός μπαλακιών

Σύνολο μπαλακιών = 5 κόκκινα + 3 πράσινα + 2 μπλε = 10 μπαλάκια

Βήμα 2: Πιθανότητα να τραβηχτεί κόκκινο στην πρώτη κλήρωση

Η πιθανότητα να βγει κόκκινο μπαλάκι στην πρώτη κλήρωση είναι:
$$ P(\text{κόκκινο}_1) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} $$

Βήμα 3: Πιθανότητα να τραβηχτεί κόκκινο στη δεύτερη κλήρωση

Επειδή γίνεται επανατοποθέτηση, η σύνθεση του κουτιού παραμένει ίδια.
Άρα η πιθανότητα να βγει κόκκινο στη δεύτερη κλήρωση είναι:
$$ P(\text{κόκκινο}_2) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} $$

Βήμα 4: Πιθανότητα και οι δύο κληρώσεις να είναι κόκκινες

Οι δύο κληρώσεις είναι ανεξάρτητες λόγω επανατοποθέτησης.
Άρα: $$ P(\text{κόκκινο}_1 \ \text{και} \ \text{κόκκινο}_2) = P(\text{κόκκινο}_1) \times P(\text{κόκκινο}_2) $$ $$ = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} $$

Βήμα 5: Επαλήθευση

- Συνολικός αριθμός δυνατών ζευγών κληρώσεων = $10 \times 10 = 100$
- Ευνοϊκές περιπτώσεις: $5 \times 5 = 25$ (και οι δύο κόκκινα)
- Πιθανότητα = $\frac{25}{100} = \frac{1}{4}$

Σωστή απάντηση

Β

Θεωρία

Η πιθανότητα ενός γεγονότος ορίζεται ως: $$ P(A) = \frac{\text{ευνοϊκές περιπτώσεις}}{\text{σύνολο περιπτώσεων}} $$ Όταν δύο γεγονότα είναι ανεξάρτητα, η πιθανότητα να συμβούν και τα δύο είναι: $$ P(A \ \text{και} \ B) = P(A) \times P(B) $$ Στην περίπτωση επανατοποθέτησης, η σύνθεση του δείγματος δεν αλλάζει, οπότε οι πιθανότητες σε κάθε κλήρωση παραμένουν ίδιες.