Βήμα 1: Κατανόηση του προβλήματος

Μας δίνεται:

• Πιθανότητα επιτυχίας στην πρώτη προσπάθεια: $P(\text{Επιτυχία}_1) = 0.5$
• Πιθανότητα επιτυχίας στη δεύτερη προσπάθεια, αν αποτύχει στην πρώτη: $P(\text{Επιτυχία}_2 \mid \text{Αποτυχία}_1) = 0.8$

Ζητείται η πιθανότητα να πετύχει συγκεκριμένα στη δεύτερη προσπάθεια, δηλαδή:

$$P(\text{Αποτυχία}_1 \cap \text{Επιτυχία}_2)$$

Βήμα 2: Εφαρμογή κανόνα πολλαπλασιασμού

Ο κανόνας πολλαπλασιασμού για εξαρτημένα γεγονότα είναι:

$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$$

Στη δική μας περίπτωση:

$$P(\text{Αποτυχία}_1 \cap \text{Επιτυχία}_2) = P(\text{Αποτυχία}_1) \cdot P(\text{Επιτυχία}_2 \mid \text{Αποτυχία}_1)$$

Βήμα 3: Υπολογισμός πιθανότητας αποτυχίας στην πρώτη προσπάθεια

Αφού η πιθανότητα επιτυχίας στην πρώτη προσπάθεια είναι $0.5$, τότε:

$$P(\text{Αποτυχία}_1) = 1 - 0.5 = 0.5$$

Βήμα 4: Αντικατάσταση τιμών

Αντικαθιστούμε στον τύπο:

$$P(\text{Αποτυχία}_1 \cap \text{Επιτυχία}_2) = 0.5 \cdot 0.8 = 0.4$$

Βήμα 5: Επαλήθευση

Αν κάνουμε δέντρο πιθανότητας:

• Επιτυχία στην πρώτη: $0.5$
• Αποτυχία στην πρώτη και επιτυχία στη δεύτερη: $0.5 \cdot 0.8 = 0.4$
• Αποτυχία και στις δύο: $0.5 \cdot 0.2 = 0.1$

Το άθροισμα είναι $0.5 + 0.4 + 0.1 = 1.0$, οπότε ο υπολογισμός είναι σωστός.

Τελική απάντηση

0,4 — επιλογή Α

Θεωρία

Κανόνας πολλαπλασιασμού για εξαρτημένα γεγονότα

Για δύο γεγονότα $A$ και $B$ ισχύει:

$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$$

όπου $P(B \mid A)$ είναι η πιθανότητα του $B$ δεδομένου ότι έχει συμβεί το $A$.

Δέντρα πιθανότητας

Χρησιμοποιούνται για να απεικονίσουμε διαδοχικά γεγονότα. Οι πιθανότητες πολλαπλασιάζονται κατά μήκος κάθε κλαδιού και προστίθενται για αμοιβαία αποκλειόμενα αποτελέσματα.

Συμπλήρωμα γεγονότος

Η πιθανότητα να μην συμβεί ένα γεγονός $A$ είναι:

$$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$$