Βήμα 1: Καθορισμός γεγονότων

Έστω ότι η πιθανότητα να σκοράρει σε κάθε προσπάθεια είναι $p = 0{,}6$. Άρα η πιθανότητα να αστοχήσει είναι $q = 1 - p = 0{,}4$.

Βήμα 2: Σχέση για το ζητούμενο

Η πιθανότητα να σκοράρει τουλάχιστον μία φορά ισούται με:

$P(\text{τουλάχιστον 1 γκολ}) = 1 - P(\text{κανένα γκολ})$

Βήμα 3: Υπολογισμός $P(\text{κανένα γκολ})$

Για να μην σκοράρει σε καμία από τις δύο προσπάθειες πρέπει να αστοχήσει και στις δύο. Η πιθανότητα είναι:

$P(\text{κανένα γκολ}) = q \cdot q = 0{,}4 \times 0{,}4 = 0{,}16$

Βήμα 4: Υπολογισμός $P(\text{τουλάχιστον 1 γκολ})$

$P(\text{τουλάχιστον 1 γκολ}) = 1 - 0{,}16 = 0{,}84$

Βήμα 5: Επαλήθευση

Εναλλακτικά, μπορούμε να υπολογίσουμε το ίδιο αποτέλεσμα αθροίζοντας τις πιθανότητες για 1 ή 2 γκολ:

• Ακριβώς 1 γκολ: $p \cdot q + q \cdot p = 0{,}6 \times 0{,}4 + 0{,}4 \times 0{,}6 = 0{,}24 + 0{,}24 = 0{,}48$
• Ακριβώς 2 γκολ: $p \cdot p = 0{,}6 \times 0{,}6 = 0{,}36$

$0{,}48 + 0{,}36 = 0{,}84$

Σωστή απάντηση

Α: 0,84

Θεωρία

Κανόνας του συμπληρωματικού ενδεχομένου

Αν $A$ είναι ένα ενδεχόμενο, τότε $P(A) = 1 - P(\overline{A})$, όπου $\overline{A}$ είναι το συμπληρωματικό του. Η μέθοδος αυτή είναι ιδιαίτερα χρήσιμη όταν το συμπληρωματικό έχει απλούστερο υπολογισμό.

Ανεξάρτητα ενδεχόμενα

Δύο ενδεχόμενα $A$ και $B$ λέγονται ανεξάρτητα όταν $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. Στην παρούσα άσκηση, το αποτέλεσμα της πρώτης εκτέλεσης πέναλτι δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα της δεύτερης, οπότε μπορούμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα πολλαπλασιάζοντας τις επιμέρους πιθανότητες.

Νόμος της ολικής πιθανότητας

Όταν τα ενδεχόμενα είναι ασυμβίβαστα και καλύπτουν όλα τα δυνατά αποτελέσματα, η συνολική πιθανότητα προκύπτει από το άθροισμα των επιμέρους πιθανοτήτων. Στην επαλήθευση χρησιμοποιήσαμε τον νόμο αυτό για το άθροισμα των περιπτώσεων "1 γκολ" και "2 γκολ".