Βήμα 1: Συνολικός αριθμός μπαλακίων

Σύνολο μπαλακίων: $5 + 3 + 2 = 10$

Βήμα 2: Συνολικός αριθμός τρόπων επιλογής 2 μπαλακίων

Χρησιμοποιούμε τους συνδυασμούς:

$ \binom{10}{2} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45 $

Βήμα 3: Αριθμός τρόπων να επιλέξουμε 2 κόκκινα

Υπάρχουν $5$ κόκκινα μπαλάκια, άρα:

$ \binom{5}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10 $

Βήμα 4: Υπολογισμός πιθανότητας

Η πιθανότητα είναι:

$ P = \frac{\text{Ευνοϊκές περιπτώσεις}}{\text{Συνολικές περιπτώσεις}} = \frac{10}{45} = \frac{2}{9} $

Βήμα 5: Επαλήθευση

Εναλλακτικός υπολογισμός με τον κανόνα του γινομένου:

$ P = \frac{5}{10} \cdot \frac{4}{9} = \frac{20}{90} = \frac{2}{9} $

Τα αποτελέσματα συμφωνούν.

Τελική απάντηση

$ \frac{2}{9} $ → Σωστή επιλογή: Α

Θεωρία

Για τον υπολογισμό πιθανοτήτων σε περιπτώσεις χωρίς επανατοποθέτηση χρησιμοποιούνται οι συνδυασμοί και η βασική σχέση:

$ P = \frac{\text{Ευνοϊκές περιπτώσεις}}{\text{Συνολικές περιπτώσεις}} $

Οι συνδυασμοί δίνουν τον αριθμό τρόπων επιλογής αντικειμένων χωρίς να λαμβάνεται υπόψη η σειρά, και υπολογίζονται ως:

$ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $

Η μέθοδος του γινομένου (ή κανόνας πολλαπλασιασμού) μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί όταν τα γεγονότα είναι εξαρτημένα, όπως εδώ: η πιθανότητα να είναι το πρώτο μπαλάκι κόκκινο και το δεύτερο επίσης κόκκινο υπολογίζεται ως το γινόμενο των πιθανοτήτων κάθε βήματος.