Βήμα 1: Διατύπωση της εξίσωσης πιθανοτήτων

Οι πιθανότητες είναι:

$ x,\ \frac{x}{4},\ \frac{x}{5} $

Επειδή τα αποτελέσματα είναι αμοιβαία αποκλειόμενα και εξαντλούν όλες τις πιθανότητες, ισχύει:

$ x + \frac{x}{4} + \frac{x}{5} = 1 $

Βήμα 2: Εύρεση κοινού παρονομαστή

Ο ελάχιστος κοινός παρονομαστής είναι $20$:

$ \frac{20x}{20} + \frac{5x}{20} + \frac{4x}{20} = 1 $

Βήμα 3: Άθροιση των όρων

$ \frac{20x + 5x + 4x}{20} = 1 $

$ \frac{29x}{20} = 1 $

Βήμα 4: Επίλυση για το $x$

$ 29x = 20 $

$ x = \frac{20}{29} $

Βήμα 5: Επαλήθευση

Οι τρεις πιθανότητες είναι:

$ \frac{20}{29},\ \frac{5}{29},\ \frac{4}{29} $

Άθροισμα:

$ \frac{20 + 5 + 4}{29} = \frac{29}{29} = 1 $

Η απάντηση είναι σωστή.

Σωστή επιλογή

Α: $ \frac{20}{29} $

Θεωρία

Αμοιβαία αποκλειόμενα και εξαντλητικά ενδεχόμενα

Δύο ή περισσότερα ενδεχόμενα είναι αμοιβαία αποκλειόμενα όταν η εμφάνιση του ενός αποκλείει την εμφάνιση των υπολοίπων, δηλαδή η τομή τους είναι το κενό σύνολο.

Τα ενδεχόμενα είναι εξαντλητικά όταν η ένωση τους καλύπτει όλο το δειγματικό χώρο, δηλαδή η πιθανότητα της ένωσής τους είναι $1$.

Άθροισμα πιθανοτήτων

Για αμοιβαία αποκλειόμενα και εξαντλητικά ενδεχόμενα $A_1, A_2, ..., A_n$ ισχύει:

$ P(A_1) + P(A_2) + \dots + P(A_n) = 1 $

Η ιδιότητα αυτή εφαρμόζεται άμεσα για να βρεθεί άγνωστη πιθανότητα όταν είναι γνωστές οι υπόλοιπες.