Βήμα 1: Καθορισμός δεδομένων

Από το εργοστάσιο Α:

• Συνολικά αυτοκίνητα: 15000
• Ποσοστό ελαττωματικών: 3% = 0,03

Από το εργοστάσιο Β:

• Συνολικά αυτοκίνητα: 5000
• Ποσοστό ελαττωματικών: 1% = 0,01

Βήμα 2: Υπολογισμός συνολικής παραγωγής

$ \text{Συνολικά} = 15000 + 5000 = 20000 $

Βήμα 3: Υπολογισμός συνολικών ελαττωματικών

Από εργοστάσιο Α:

$ 15000 \cdot 0,03 = 450 $

Από εργοστάσιο Β:

$ 5000 \cdot 0,01 = 50 $

Συνολικά ελαττωματικά:

$ 450 + 50 = 500 $

Βήμα 4: Υπολογισμός πιθανότητας

$ P(\text{ελαττωματικό}) = \frac{\text{Συνολικά ελαττωματικά}}{\text{Συνολική παραγωγή}} = \frac{500}{20000} $

$ \frac{500}{20000} = \frac{1}{40} $

Βήμα 5: Επαλήθευση

$ \frac{1}{40} = 0,025 = 2,5\% $

Έλεγχος: Το 2,5% είναι λογικό, αφού το μεγαλύτερο εργοστάσιο έχει ποσοστό 3% και το μικρότερο 1%.

Σωστή απάντηση

Α: $ \frac{1}{40} $

Θεωρία

Πιθανότητα

Η πιθανότητα ενός ενδεχομένου $E$ ορίζεται ως:

$ P(E) = \frac{\text{ευνοϊκές περιπτώσεις}}{\text{συνολικές περιπτώσεις}} $

Όταν έχουμε καταστάσεις με διαφορετικές ομάδες, η συνολική πιθανότητα ενός ενδεχομένου υπολογίζεται αθροίζοντας τις πιθανότητες από κάθε ομάδα, σταθμισμένες με βάση τη συμμετοχή της κάθε ομάδας στο σύνολο.

Νόμος Ολικής Πιθανότητας

Αν $B_1, B_2, \dots, B_n$ είναι ένα πλήρες σύνολο ασυμβίβαστων γεγονότων και $A$ είναι ένα γεγονός, τότε:

$ P(A) = P(B_1) \cdot P(A|B_1) + P(B_2) \cdot P(A|B_2) + \dots + P(B_n) \cdot P(A|B_n) $

Στην παρούσα άσκηση:

• $B_1$: Επιλέγουμε αυτοκίνητο από το εργοστάσιο Α
• $B_2$: Επιλέγουμε αυτοκίνητο από το εργοστάσιο Β
• $A$: Το αυτοκίνητο είναι ελαττωματικό

Η πιθανότητα προκύπτει ως:

$ P(A) = \frac{15000}{20000} \cdot 0,03 + \frac{5000}{20000} \cdot 0,01 $

$ P(A) = 0,75 \cdot 0,03 + 0,25 \cdot 0,01 = 0,0225 + 0,0025 = 0,025 = \frac{1}{40} $