Βήμα 1: Συνολικός αριθμός τρόπων επιλογής 2 μπαλών από 7

Ο συνολικός αριθμός μπαλών είναι: 3 άσπρες + 4 μαύρες = 7.
Ο αριθμός τρόπων να επιλέξουμε 2 μπάλες από 7 είναι:

$ \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21 $

Βήμα 2: Αριθμός ευνοϊκών περιπτώσεων

Για να κερδίσουμε το έπαθλο, πρέπει και οι δύο μπάλες να είναι μαύρες.
Ο αριθμός τρόπων να επιλέξουμε 2 μαύρες μπάλες από τις 4 είναι:

$ \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6 $

Βήμα 3: Υπολογισμός πιθανότητας

Η πιθανότητα δίνεται από τον λόγο:

$ P = \frac{\text{ευνοϊκές περιπτώσεις}}{\text{συνολικές περιπτώσεις}} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7} $

Βήμα 4: Επαλήθευση

Με χρήση κανόνα πολλαπλασιασμού:
Η πιθανότητα η πρώτη μπάλα να είναι μαύρη: $ \frac{4}{7} $
Η πιθανότητα η δεύτερη να είναι επίσης μαύρη: $ \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $
Άρα:

$ P = \frac{4}{7} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7} $

Τελική απάντηση

Σωστή επιλογή: Α ($\frac{2}{7}$)

Θεωρία

Μεθοδολογία απαρίθμησης

Για να βρούμε τον αριθμό τρόπων επιλογής χωρίς να λάβουμε υπόψη τη σειρά, πολλαπλασιάζουμε τις δυνατές επιλογές για κάθε θέση και διαιρούμε με τον αριθμό των διατάξεων αυτών των επιλεγμένων στοιχείων. Στην περίπτωση επιλογής 2 αντικειμένων από $n$, διαιρούμε με $2 \cdot 1$.

Πιθανότητα

Η κλασική πιθανότητα ορίζεται ως ο λόγος του αριθμού ευνοϊκών περιπτώσεων προς τον συνολικό αριθμό ισοπίθανων περιπτώσεων:

$ P = \frac{\text{ευνοϊκές περιπτώσεις}}{\text{συνολικές περιπτώσεις}} $

Κανόνας Πολλαπλασιασμού

Αν ένα γεγονός $A$ μπορεί να συμβεί με $m$ τρόπους και μετά από αυτό ένα γεγονός $B$ μπορεί να συμβεί με $n$ τρόπους, τότε το σύνολο των τρόπων για να συμβούν διαδοχικά είναι $ m \cdot n $. Στις πιθανότητες, όταν τα γεγονότα είναι εξαρτημένα, πολλαπλασιάζουμε την πιθανότητα του πρώτου με την πιθανότητα του δεύτερου υπό τον όρο ότι το πρώτο συνέβη.