Βήμα 1: Κατανόηση του λόγου ομοιότητας

Ο λόγος ομοιότητας των πλευρών των δύο κανονικών πενταγώνων είναι:

$ \dfrac{2}{3} $

Βήμα 2: Σχέση εμβαδών σε όμοια σχήματα

Σε όμοια σχήματα, ο λόγος των εμβαδών είναι το τετράγωνο του λόγου ομοιότητας των πλευρών:

$ \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{4}{9} $

Βήμα 3: Δημιουργία αναλογίας για τα εμβαδά

Έστω $E_μ = 16$ το εμβαδόν του μικρότερου πενταγώνου και $E_Μ$ το εμβαδόν του μεγαλύτερου. Η αναλογία των εμβαδών είναι:

$ \dfrac{E_μ}{E_Μ} = \dfrac{4}{9} $

Βήμα 4: Λύση της αναλογίας

Αντικαθιστούμε $E_μ = 16$:

$ \dfrac{16}{E_Μ} = \dfrac{4}{9} $

Πολλαπλασιάζουμε χιαστί:

$ 16 \cdot 9 = 4 \cdot E_Μ $

$ 144 = 4 \cdot E_Μ $

Διαιρούμε με 4:

$ E_Μ = 36 $

Βήμα 5: Επαλήθευση

Λόγος εμβαδών: $ \dfrac{36}{16} = \dfrac{9}{4} $, που είναι το αντίστροφο του $ \dfrac{4}{9} $, όπως πρέπει όταν αντιστρέφουμε τη σύγκριση μικρού-μεγάλου.

Βήμα 6: Σωστή απάντηση

Γ: 36

Θεωρία

Ομοιότητα και λόγοι εμβαδών

Δύο επίπεδα σχήματα είναι όμοια όταν έχουν ίσες αντίστοιχες γωνίες και οι αντίστοιχες πλευρές τους έχουν σταθερό λόγο, που ονομάζεται λόγος ομοιότητας.

Αν ο λόγος ομοιότητας των πλευρών δύο όμοιων σχημάτων είναι $k = \dfrac{α}{β}$, τότε:

• Ο λόγος των περιμέτρων τους είναι επίσης $ \dfrac{α}{β} $.
• Ο λόγος των εμβαδών τους είναι $ \left(\dfrac{α}{β}\right)^2 $.

Αυτό συμβαίνει διότι το εμβαδόν εξαρτάται από το τετράγωνο των διαστάσεων του σχήματος. Έτσι, εάν το μήκος κάθε πλευράς αυξηθεί κατά έναν παράγοντα $k$, το εμβαδόν αυξάνεται κατά παράγοντα $k^2$.