Βήμα 1: Ρυθμοί παραγωγής των μηχανών

Η Μ1 ολοκληρώνει την εργασία σε 45 ημέρες, άρα ο ημερήσιος ρυθμός της είναι:

$ r_1 = \frac{1}{45} $ (της εργασίας ανά ημέρα)

Η Μ2 ολοκληρώνει την εργασία σε 40 ημέρες, άρα ο ημερήσιος ρυθμός της είναι:

$ r_2 = \frac{1}{40} $

Βήμα 2: Υπολογισμός συνολικής εργασίας από το κοινό διάστημα

Ας υποθέσουμε ότι εργάστηκαν μαζί για $x$ ημέρες. Στο διάστημα αυτό ολοκληρώθηκε:

$ E_{\text{μαζί}} = x \left( \frac{1}{45} + \frac{1}{40} \right) $

Υπολογίζουμε το άθροισμα των ρυθμών:

$\frac{1}{45} + \frac{1}{40} = \frac{40 + 45}{1800} = \frac{85}{1800}$

Άρα:

$ E_{\text{μαζί}} = x \cdot \frac{85}{1800} $

Βήμα 3: Υπολογισμός εργασίας που έκανε η Μ2 μόνη της

Η Μ2 εργάστηκε μόνη της για 23 ημέρες, οπότε ολοκλήρωσε:

$ E_{\text{Μ2 μόνη}} = 23 \cdot \frac{1}{40} = \frac{23}{40} $

Βήμα 4: Εξίσωση για τη συνολική εργασία

Η συνολική εργασία είναι 1 (δηλαδή το 100% της παρτίδας):

$ E_{\text{μαζί}} + E_{\text{Μ2 μόνη}} = 1 $

Αντικαθιστούμε:

$ x \cdot \frac{85}{1800} + \frac{23}{40} = 1 $

Βήμα 5: Επίλυση της εξίσωσης

Μεταφέρουμε το $\frac{23}{40}$:

$ x \cdot \frac{85}{1800} = 1 - \frac{23}{40} $

Υπολογίζουμε το δεύτερο μέλος:

$ 1 - \frac{23}{40} = \frac{40}{40} - \frac{23}{40} = \frac{17}{40} $

Άρα:

$ x \cdot \frac{85}{1800} = \frac{17}{40} $

Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με $ \frac{1800}{85} $:

$ x = \frac{17}{40} \cdot \frac{1800}{85} $

Απλοποιούμε:

$ \frac{1800}{40} = 45 $

Άρα:

$ x = \frac{17 \cdot 45}{85} $

Απλοποιούμε $ \frac{17}{85} = \frac{1}{5} $:

$ x = \frac{45}{5} = 9 $

Βήμα 6: Επαλήθευση

Σε 9 ημέρες μαζί έκαναν:

$ 9 \cdot \frac{85}{1800} = \frac{765}{1800} = \frac{17}{40} $

Σε 23 ημέρες η Μ2 έκανε:

$ 23 \cdot \frac{1}{40} = \frac{23}{40} $

Σύνολο:

$\frac{17}{40} + \frac{23}{40} = 1$

Τελική απάντηση

9 ημέρες (Επιλογή Β)

Θεωρία

Ρυθμός Εργασίας

Αν μια εργασία ολοκληρώνεται σε $t$ ημέρες, ο ημερήσιος ρυθμός είναι $\frac{1}{t}$. Όταν δύο ή περισσότερες μονάδες εργάζονται μαζί, οι ρυθμοί τους προστίθενται:

$ r_{\text{συνολικός}} = r_1 + r_2 + \dots $

Σχέση Εργασίας - Ρυθμού - Χρόνου

Η βασική σχέση είναι:

$ \text{Εργασία} = \text{Ρυθμός} \times \text{Χρόνος} $

Για ολόκληρη την εργασία ισχύει:

$ \sum (\text{Ρυθμός}_i \times \text{Χρόνος}_i) = 1 $

Η μέθοδος αυτή επιτρέπει την επίλυση προβλημάτων όπου η εργασία μοιράζεται σε χρονικά διαστήματα με διαφορετικούς ρυθμούς.