Βήμα 1 – Ρυθμοί ροής

Η πρώτη βρύση γεμίζει τη δεξαμενή σε 12 ώρες, άρα ο ρυθμός της είναι:

$ \frac{1}{12} $ δεξαμενή/ώρα

Η δεύτερη βρύση γεμίζει τη δεξαμενή σε 8 ώρες, άρα ο ρυθμός της είναι:

$ \frac{1}{8} $ δεξαμενή/ώρα

Βήμα 2 – Χρόνος που δουλεύει η κάθε βρύση

Αν η συνολική διάρκεια πλήρωσης είναι $x$ ώρες:

• Η πρώτη βρύση δουλεύει όλο το διάστημα $x$
• Η δεύτερη βρύση δουλεύει $x - 2$ ώρες

Βήμα 3 – Εξίσωση πληρότητας

Η ποσότητα νερού που δίνουν οι δύο βρύσες μαζί πρέπει να ισούται με 1 δεξαμενή:

$ \frac{1}{12} \cdot x + \frac{1}{8} \cdot (x - 2) = 1 $

Βήμα 4 – Επίλυση της εξίσωσης

Βρίσκουμε κοινό παρονομαστή (24):

$ \frac{2x}{24} + \frac{3(x - 2)}{24} = 1 $

Απλοποιούμε:

$ \frac{2x + 3x - 6}{24} = 1 $

$ \frac{5x - 6}{24} = 1 $

Πολλαπλασιάζουμε με 24:

$ 5x - 6 = 24 $

Λύνουμε για $x$:

$ 5x = 30 $

$ x = 6 $

Βήμα 5 – Επαλήθευση

Πρώτη βρύση: $ \frac{1}{12} \cdot 6 = 0,5 $ δεξαμενή

Δεύτερη βρύση: $ \frac{1}{8} \cdot 4 = 0,5 $ δεξαμενή

Σύνολο: $ 0,5 + 0,5 = 1 $ δεξαμενή → Σωστό.

Σωστή απάντηση

Γ: 6

Θεωρία

Προβλήματα συνεργασίας ροών

Όταν δύο ή περισσότερες πηγές (ή εργάτες) εκτελούν μαζί μια εργασία, οι ρυθμοί τους προστίθενται.

Αν μία πηγή ολοκληρώνει την εργασία σε χρόνο $t$, ο ρυθμός της είναι $ \frac{1}{t} $ εργασίες ανά μονάδα χρόνου.

Αν εργάζονται ταυτόχρονα, η συνολική εργασία που εκτελείται σε χρόνο $x$ είναι το άθροισμα των μερικών εργασιών που έκανε η κάθε πηγή.

Η βασική εξίσωση είναι:

$ \text{(ποσότητα από 1η)} + \text{(ποσότητα από 2η)} + \dots = 1 $

Σε προβλήματα όπου κάποιος ξεκινά αργότερα ή σταματά νωρίτερα, ο χρόνος συμμετοχής του στη ροή προσαρμόζεται ανάλογα στην εξίσωση.